Простой вывод приближения Кимуры для вероятности фиксации мутации.

Предположительно, вы решили это, но в противном случае это потому, что УЧП является обратным уравнением Колмогорова , поэтому коэффициенты первого и второго порядка являются средним значением и дисперсией базового моделируемого стохастического процесса.

Подробно рассмотрим стохастическое дифференциальное уравнение (решение которого дается процессом диффузии Ито):

$$dp_t = \mu(p_t,t) dt + \sigma(p_t,t) dW_t$$ то имеет место следующая система (при некоторых условиях): $$-\frac{\partial}{\partial t} u(p,t) = \mu(p,t)\frac{\partial}{\partial p}u(p,t) + \frac{1}{2}\sigma^2(p,t)\frac{\partial^2}{\partial p^2} u(p,t)$$ куда$u$это плотность$p$в$t$.

Обратите внимание, что дрейф (бесконечно малая средняя)$M=\mu(p,t)$и коэффициент диффузии (бесконечно малая дисперсия)$V=\sigma^2(p,t)$такие же, как в статье (за исключением отрицательного знака, который, как я полагаю, игнорируется, поскольку он, кажется, в основном заботится только о случае, когда$\partial_t u\approx 0$так или иначе). Действительно, они равнозначно пишутся:

$$\begin{align} \mu(p,t) &= \lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\delta t} \mathbb{E}\left[ p_{t + \delta t} - p_t \mid p_t=p \right] =: M \\ \sigma^2(p,t) &= \lim_{\delta t\rightarrow 0}\frac{1}{\delta t} \mathbb{E}\left[ (p_{t + \delta t} - p_t)^2 \mid p_t=p \right] =: V \\ \end{align}$$ как пишет Кимура.

Обратите внимание, что полезное приближение переходной плотности определяется выражением:

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + \mu(p_t,t)\,\delta t, \sigma^2(p_t,t) \,\delta t) \tag{TD}$$

Итак, все вышеизложенное — это просто базовая теория стохастических процессов. Таким образом, если у нас есть стохастическая модель динамики населения, мы можем получить значения для$M$и$V$из него (путем вычисления его моментов), и они будут перенесены в обратное уравнение Колмогорова, на котором основана работа Кимуры.

Вот где проявляется мое невежество в динамике населения. Однако, поскольку Кимура упоминает Фишера и Райта, я просмотрел модель Райта-Фишера. Похоже, что Кимура использует приближение процесса диффузии модели Райта-Фишера. Похоже, это хорошо изученная и легендарная модель, которую я не могу полностью описать здесь; вместо этого я нашел работу Татару и др . «Статистический вывод в модели Райта-Фишера с использованием данных о частоте аллелей» как отличное ее описание, хотя я не претендую на то, чтобы понять ее большую часть.

Однако важно то, что изменение в генах (плотность перехода) может быть описано биномиальным распределением. Это можно аппроксимировать нормальным распределением:

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + a(p_t) \delta t,\, p_t (1-p_t) \delta t )$$ используя стандартное приближение к биному. Это тогда дает нам прямое уравнение Коломогорова (не обратное), записанное: $$\frac{\partial}{\partial t} u = - \frac{\partial}{\partial p}\left[a(p_t) u(p_t) \right] + \frac{1}{2}\frac{\partial^2}{\partial p^2} \left[ p_t(1-p_t)u(p_t) \right]$$ Это в основном означает, что$V=p(1-p)$.

(Я заметил, что еще один способ доказать это — заметить, что приближенная диффузия Райта-Фишера (без каких-либо отборов и т. д.).$a\equiv 0$) имеет бесконечно малый генератор, заданный формулой:$\mathfrak{G} f(p) = p(1-p)\partial_{tt} f(p) / 2$. Это сразу подразумевает$V=p(1-p)$. Но может быть менее простым для понимания. )

Однако сбивает с толку то, что в статье изменены временные рамки (переменные), так что$\delta t \leftarrow \Delta t / (2N)$, а затем установите$\delta t$к$1$(наверное для того что бы не пришлось писать$2N$повсюду). Если мы отменим это преобразование, мы получим

$$\mathbb{P}[p_{t+\delta t} \mid p_t] \approx \mathcal{N}(p_{t+\delta t}\mid p_t + a(p_t) \delta t,\, p_t (1-p_t) \delta t/(2N) )$$ Если вы сравните это с нашей приблизительной плотностью перехода выше (уравнение (TD)), вы увидите, что это подразумевает: $$\sigma^2 = V = p(1-p)/[2N]$$ по желанию.

Теперь, каково бесконечно малое среднее, т.е.$a$или$M$? Ясно, что это зависит от модели отбора, поскольку она определяет, как «среда» детерминистически влияет на процесс. Кимура описывает это как «постоянное преимущество выбора» с коэффициентом$s$. В статье Татару отмечается, что диффузионное приближение Райта-Фишера при генетическом дрейфе, мутации и отборе определяется следующим образом:

$$a(p) = -\nu p + \xi(1-p) + 2N\tau p(1-p)[h-(1-2h)p]$$ Если мы (1) проигнорируем мутацию, установив$\nu=\xi=0$, (2) удалить эффекты аллельного доминирования, установив$h=1/2$, и (3) определить$s:= N\tau$, мы получили: $$a(p) = s p(1-p) =: M$$ что, конечно, мы видим, отмечая$M=a(p)$Спички$\mu$в уравнении (TD) выше. (Обратите внимание, что$2N$преобразование также произошло здесь, но оно было скрыто внутри$s$).

Таким образом, мы получили, где Кимура$M$и$V$исходить, хотя и не самым простым способом.

Остается только вывести уравнение (стационарного) для$u$. Думаю, я сделаю это для полноты.

Игнорируя стационарные индексы, получаем:

$$\begin{align} G(x) &= \exp\left( -\int \frac{2M}{V} dx \right) = \exp\left( -\int 4sN dx \right) = \exp\left( -4sNx\right) \\[0.15cm] u(p) &= \frac{\displaystyle \int_0^p G(x) dx}{\displaystyle \int_0^1 G(x) dx} = \frac{\displaystyle \frac{1}{4Ns}\left[ \exp\left( -4sNx\right) \right]_0^p}{\displaystyle \frac{1}{4Ns}\left[ \exp\left( -4sNx\right) \right]_0^1} = \frac{\displaystyle -\left[ \exp\left( -4sNp\right) - 1 \right]}{\displaystyle -\left[ \exp\left( -4sN\right) -1 \right]} \\ &= \frac{1 - \exp(-4Nsp)}{1 - \exp(-4Ns)} \end{align}$$ как требуется.

---

Приносим извинения за любые ошибки. (Я не занимаюсь моделированием динамики населения и не математик, поэтому, пожалуйста, указывайте на любые проблемы).