Дисперсионное соотношение в квантовой волновой механике

Да, ты можешь!

Уравнения де Бройля связывают длину волны$λ$к импульсу$p$, а частота f к полной энергии$E$свободной частицы:

$$\mathbf{p}=\hbar\mathbf{k}$$ $$E=\hbar \omega$$

Используя две формулы из специальной теории относительности, одну для релятивистской массы-энергии и одну для релятивистского импульса.

$$E=\gamma m_0c^2$$ $$\mathbf{p}=\gamma m_0\mathbf{v}$$ также $$E^2=p^2c^2+(m_0c^2)^2$$ которые приводят к дисперсионному соотношению $$\hbar^2\omega^2=\hbar^2k^2+(m_0c^2)^2\Rightarrow \omega(k)=\sqrt{k^2+\frac{(m_0c^2)^2}{\hbar^2}}$$

что иногда пишут как

$$\left(\frac{\omega}{c}\right)^2=k^2+\left(\frac{m_0c^2}{\hbar}\right)^2$$ Это также может быть получено из величины четырехволнового вектора

$$\mathbf{K}=\left(\frac{\omega}{c},\mathbf{k}\right)$$

Поскольку приведенная постоянная Планка$ħ$и скорость света$c$оба появляются и загромождают это уравнение, и здесь натуральные единицы особенно полезны. Нормировать их так, чтобы$ħ = c = 1$, у нас есть:

$$\omega^2=k^2+m_0^2$$