Запутался в сложном представлении волны

Что, если я скажу вам, что волновое уравнение было получено по формуле:

куда$i$а также$j$представляют единичные векторы в направлениях x и y?

Если это так, вы могли бы думать о волне, колеблющейся в двух отдельных пространственных измерениях.

Теперь вместо этого волновое уравнение выглядит следующим образом:

Но какая разница? В векторах вы должны держать$i$а также$j$компоненты отдельно при составлении уравнений; аналогично, в комплексных числах вы решаете уравнения, сохраняя равными действительные части и равные комплексные части. Таким образом, вы можете думать о волновом уравнении как имеющем два измерения, реальное измерение и комплексное измерение.

В векторах вы получаете квадрат величины, складывая квадраты x-компоненты и y-компоненты.

$\text{Magnitude}^2 = a^2 + b^2$если a — это x-компонента, а b — y-компонента вектора.

Точно так же, чтобы получить физически значимый результат вероятности в квантовой механике, вы умножаете волновую функцию и ее комплексное сопряжение:

Волновая функция сама по себе не является «реальной» вещью. Т.е. это не наблюдаемая величина. Что «реально», так это распределение вероятностей, связанное с волновой функцией. Вероятность найти частицу между точками$x=a$а также$x=b$(для простоты ограничиваясь одним измерением) определяется как:

куда$|\Psi|^2=\Psi^* \Psi$а также$\Psi^*$является комплексно-сопряженным волновой функцией.$|\Psi|^2$является вещественнозначной функцией (т. е. ее мнимая часть равна нулю). Бесполезно думать о самой волновой функции как о физической волне. Важна величина волновой функции.

Хитрость заключается в сокрытии информации о фазе волны в таком представлении. Есть хорошее приложение из книги о голографии: http://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/9783527619139.app1/pdf - часть A.3

Остается так: для общей волновой функции$y = A · cos (\omega t − kr + \alpha)$,$kr$а также$\alpha$можно объединить в одну фазу$\phi$, чтобы$y = A · cos (\omega t - \phi)$. Здесь функция явно зависит от времени и фазы. Его можно преобразовать таким образом, чтобы он явно зависел от одного из этих параметров.

По формуле косинуса разности аргументов:

$y = A · \cos \phi · \cos ωt + A · \sin \phi · \sin ωt$

или же

$y = A_1 · \cos \phi + A_2 · \sin \phi$.

Используя представление комплексного числа, мы можем переписать приведенное выше уравнение как

$y = A · \cos \phi + i · A · \sin \phi$

и по закону Эйлера получаем:

$y = A · e^{i · \phi}$.

Я думаю, что вопрос больше о физической интерпретации сложного выражения

$\psi (x,t)=Ae^{i(kx-\omega t)}$

чем его математический смысл. По физическому смыслу мы думаем об амплитуде вероятности как о вращающейся стрелке, которая вращается по мере того, как частица путешествует в пространстве. Частота вращения стрелки определяется энергией (частотой) частицы (фотона). Эта стрелка получила название «фазор», потому что аргумент$\phi =kx-\omega t$— угол (в волновой механике он называется «фазой» волны). Эта фаза сообщает нам, на сколько градусов повернулась стрелка с момента создания частицы до того, как она достигнет точки.$x$вовремя$t$своего путешествия.

Это представление комплексных чисел очень удобно не только потому, что оно показывает фазу волны, но также показывает направление (если волна распространяется в трехмерном пространстве). Однако его важность в КМ связана с необходимостью комбинировать (добавлять) волны исходящие из разных источников в какой-то точке пространства. Это не простое алгебраическое сложение, потому что вовлеченные углы делают задачу геометрической, а представление комплексных чисел делает это очень аккуратно. В некотором смысле фасоры складываются так же, как и векоры ( реальное с реальным , а воображаемое с воображаемым и готово!)

Расчет вероятностей следует правилам, которые также являются геометрическими. Например, давайте представим две волны, исходящие из двух щелей в эксперименте с DS, как:

из щели 1$S_1: \psi_1(x_1,t)$и из щели 2$S_2: \psi_2(x_2,t)$.

The $x_1$а также$x_2$покажите расстояния, пройденные двумя векторами (волнами) к тому времени, когда они достигнут некоторой точки P на экране. Когда эти две волны придут на экран, они будут суммированы, чтобы сначала получить общую амплитуду.

$A=\psi_1(x_1,t)+\psi_2(x_2,t)$

и тогда вероятность будет «квадратом модуля» полной амплитуды как

$P=|A|^2= |\psi_1 (x_1,t)|^2+ |\psi_2 (x_2,t)|^2 + 2|\psi_1 (x_1,t)|\times|\psi_2 (x_2,t)|\cos(\theta)$

Третий член в приведенном выше уравнении показывает реальную необходимость комплексного представления волновых функций в КМ, а также необходимость нахождения сначала полной амплитуды вероятности, а затем нахождения вероятности как квадрата полного модуля. Этот термин лежит в основе всех прекрасных явлений интерференции, которые мы наблюдаем в квантово-механическом мире. Надеюсь, это немного поможет.

Короче говоря, «волна, бегущая в$+x$направление» не имеет ничего общего с реальным движением волнового пакета. Несмотря на некоторое математическое сходство, волновая функция физически не похожа на гравитационную волну на поверхности воды. В квантовых «волнах» нет воды (или газа, другого трехмерного континуума, струны или чего-то еще, что могло бы передать физический смысл значениям$Ψ(x,t)$).