Закон дисперсии КМ при наличии потенциала

Поправьте меня, если я ошибаюсь, но уравнения в КМ почти всегда получаются путем рассмотрения энергетической зависимости интересующей проблемы. Например, для уравнения Шредингера просто используется

$E = \frac{p^2}{2m}$

что при переводе на язык операторов дает известную формулу (для свободной частицы). То же самое происходит с Кляйн-Гордон. Один начинается с

$E^2 = m^2c^4 + c^2 p^2$

а затем снова путем перевода в операторы приходит к уравнению КГ (опять же для свободной частицы).

Возникает вопрос: при использовании соотношений де Бройля

$E = \hbar \omega$

$p = \hbar k$

Закон дисперсии решений легко найти, решив уравнения или заменив эти тождества в определении энергии. Что происходит при наличии потенциала? Изменится ли дисперсионное соотношение? Можем ли мы, используя правильный потенциал, получить решения уравнения Шредингера, которые не являются дисперсионными?