Дисперсия фотонов в оптическом волокне

А$1\text{fs}$импульс чрезвычайно короткий, и вряд ли его можно будет передать по оптическому волокну на какое-либо расстояние, не говоря уже о 50 километрах, и часто фемосекундные импульсы генерируются достаточно высокой мощности, что может привести к нелинейным эффектам при контакте с веществом.

Если на данный момент игнорировать эти опасения и предположить линейное поведение, дисперсию импульса проще всего определить в частотной области. Работая в одном измерении, пусть

$$\widehat{E}(\omega)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty E(t)e^{-i\omega t}\,dt$$ — преобразование Фурье импульса до его поступления в волокно. Тогда после прохождения волокна импульс становится $$\widehat{E_L}(\omega)=\widehat{E}(\omega)\Phi_L(\omega)$$ где $$\Phi_L(\omega)=\exp\left[-iL\sum_{n=0}^\infty\frac{k^{(n)}(\omega_0)}{n!}\left(\omega-\omega_0\right)\right]$$ - передаточная функция материала в частотной области, где $L$длина волокна, $\omega_0$- центральная частота импульса, а$k^{(n)}(\omega_0)$это$n^\text{th}$производная пространственного волнового числа$k$оценивается на центральной частоте . В этот момент, после выхода из волокна, вы можете получить импульс во временной области с помощью обратного преобразования Фурье, $$E_L(t)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty\widehat{E_L}(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.$$

$k^{(0)}$и$k^{(1)}$не влияют на ширину импульса и могут быть проигнорированы.$k^{(2)}$создает дисперсию групповой скорости (ДГС),$k^{(3)}$создает дисперсию третьего порядка (TOD) и т. д., что приводит к расширению импульса. Если у вас есть производные (которые можно получить путем дифференцирования кривых Селлмейера материала), то вы можете просто использовать вышеизложенное для численного вычисления выходного импульса.

Самый простой (и самый полезный) случай — это когда вы игнорируете все, кроме$k^{(2)}$и использовать гауссовский импульс, и в этом случае RPPhotonics приводит формулу

$$\tau\approx4\ln(2)\frac{D_2}{\tau_0}$$ где $\tau_0$- начальная длина импульса, $\tau$- окончательная длина импульса и $D_2=Lk^{(2)}(\omega_0)$– дисперсия групповой задержки для волокна. Для плавленого кварца Corning HPFS: $k^{(2)}=450\text{fs}^2/\text{cm}$в $700\text{nm}$, и используя $L=50\text{km}$дает $$\tau=6.2\times 10^9\text{fs}.$$

Короче говоря, пульс будет более чем в миллиард раз длиннее!

Поскольку у меня нет времени излагать теорию из отличного ответа DumsterFDoofus , я подумал, что добавлю к нему, показав типичные результаты для такого типа пульса.

Прежде всего, обратите внимание, что выход волокна любой длины для такого чрезвычайно короткого гауссовского импульса сильно отличается от гауссовского . На ваш ответ влияет огромное количество факторов: является ли волокно одномодовым, каков его профиль показателя преломления (ключевой концепцией здесь является смещение точки нулевой дисперсии за счет конструкции профиля показателя преломления).

Ваш импульс имеет полосу пропускания примерно 1000 ТГц. Это огромно. Чтобы получить точный ответ на свой вопрос, вам необходимо смоделировать вашу оптоволоконную систему с помощью коммерческого программного обеспечения для проектирования оптических линий. Но, как говорит DumpsterDoofus, 50-километровая передача полностью зашифрует и сильно ослабит сигнал. Чтобы дать вам представление о том, с чем вам придется столкнуться, рассмотрите фазовую характеристику в зависимости от частоты, которую я нарисовал ниже. Он взят из моего патента «Оптический сканер и оптический зонд со сканируемой линзой» и возникает из 20 метров, то есть на три порядка короче, чем ваше волокно , определенного одномодового волокна вместе с системой линз, установленной на волокне.

Ширина входного импульса даже для такой длины волокна не имеет значения, если она меньше примерно 10 фс. Подобно тому, как деструктивная интерференция вдали от стационарной фазовой точки (ТФП) означает, что для расчета интерференции системы интерфереров с помощью метода стационарно-фазового интеграла, или, в Тот же ход мыслей, нужно только рассматривать пути, близкие к тем, которые минимизируют лагранжиан в интеграле по пути Фейнмана, здесь мы обнаруживаем, что выход в значительной степени не зависит от полосы пропускания, пока мы моделируем полосу шириной около 200 ТГц. При этом вот как выглядит импульс на выходе (растянутый, нескомпенсированный):

Этот прямоугольный импульс с мелкой рябью наверху ОЧЕНЬ типичен для той формы импульса, которую можно получить при моделировании линейного распространения импульса по оптоволокну, и обычно для получения точных результатов необходимо учитывать только изменение фазы до четвертой степени в зависимости от длины волны. Производители указывают дисперсию в цифрах пс на нанометровую длину волны на километр волокна: это соответствует кубической фазе по сравнению с частотной зависимостью, и часто это все, что нужно для получения точных результатов. Ваш импульс после 50 км будет иметь длительность порядка десятков наносекунд.

Два пути преодоления этого:

1. Компенсаторы дисперсии, которые с волоконной решеткой Брэгга добавляют фазовую характеристику для устранения дисперсии либо в начале, либо в конце линии связи;

2. Использование нелинейных волокон для создания солитонных импульсов: нелинейная тенденция импульсов собираться в более короткие волновые пакеты активно компенсирует линейную дисперсию, а установленная таким образом петля обратной связи позволяет стабильным солитонам инвариантной формы распространения.