Добавление скорости для тахионов

Короткий ответ заключается в том, что он действителен, но при этом упускается множество тонкостей.

Использование трехвекторов для скорости в специальной теории относительности довольно неестественно даже для обычных скоростей, и еще хуже для тахионов, поскольку их трехскорость может быть «бесконечной» и, в определенном смысле, «обращенной во времени» (см. ниже), и эти ситуации не могут быть правильно описаны с помощью трех векторов.

Для представления скорости лучше использовать четырехвектор. Четыре скорости в точке — это просто касательный вектор к мировой линии в этой точке. трехскоростной$(u_x,u_y,u_z)$эквивалентна ненормированной четырехскоростной скорости$(1,u_x,u_y,u_z)$или любое положительное скалярное число, кратное этому.

Все четырехвекторы преобразуются одинаково. Под импульсом Лоренца в$x$направление по$v, |v|<1$(используя трехскоростной$v$в ожидании восстановления формулы, указанной в вопросе), эта четырехскоростная скорость становится$(γ(1 - vu_x), γ(u_x - v1), u_y, u_z)$. Вы можете перенормировать это, чтобы сделать компонент времени равным$1$снова, получая

$$\left( 1,\; \frac{u_x-v}{1-vu_x},\; \frac{u_y}{γ(1-vu_x)},\; \frac{u_z}{γ(1-vu_x)} \right)$$

а если скинуть$1$и добавить явные факторы$c$, вы получаете обобщение формулы из вопроса (это частный случай, когда$u_y=u_z=0$).

Ничто в этом выводе не зависит от скорости$u$скорость света или меньше как таковая . Однако, когда вы перенормируете усиленный четырехвектор, вы должны разделить на компонент времени, и когда скорость тахионная (и только когда она тахионная), эта компонента времени может быть равна нулю. В этом случае вы можете представить скорость как «формально бесконечную» трехмерную скорость, которая имеет бесконечную величину и направление, как у любого ненулевого вектора. Однако это математически подозрительно, и на самом деле единственная причина, по которой это имеет смысл, заключается в том, что это эквивалентно четырехвекторной форме. Также нет никакой естественной причины считать скорость «бесконечной». Является ли скорость «бесконечной» в этом смысле, зависит от системы отсчета и, следовательно, на самом деле не является свойством скорости.

Компонент времени также может быть отрицательным, и поэтому при делении на него вы теряете информацию о знаке. (Это когда «тахион, кажется, движется назад», как вы заметили в комментарии.) Имеет ли значение информация о знаке, зависит от природы предполагаемых тахионов. Если у тахионов есть стрела времени, а 4-скорость указывает в направлении увеличения собственного времени (как это обычно представляется для досветовых скоростей), то направление стрелы времени теряется при преобразовании. Однако, если у тахионов есть стрела времени, то вы можете использовать их для отправки сигналов в собственное прошлое (используя «тахионный антителефон»), так что, возможно, у них не может быть стрелы времени, и потеря информации о знаке не имеет значения.

В конечном счете, однако, три скорости — это просто плохой способ представления скорости тахионов, даже если его можно приспособить для этой цели. Лучше придерживаться четырех скоростей как для досветовых, так и для сверхсветовых скоростей.

Да, формула сложения скоростей

$$u' = \frac{u-v}{1-\frac{uv}{c^2}}$$ справедливо и для тахионов.
См. статью « О преобразовании Лоренца для тахионов » (American Journal of Physics 37, 1281 (1969)).

Заметьте также, что он правильно предсказывает$|u'| > c$если$|u| > c$.

Вопрос общий, а проблема тахионов — отвлекающий маневр (и, на самом деле, проблема относительности сама по себе — немного отвлекающий маневр, как вы скоро увидите). На самом деле вы спрашиваете, каково преобразование линии в пространстве-времени.

Предположим, без ограничения общности, что линия задана в параметрической форме как$(x,t) = \left(x_0 + λ a, t_0 + λ b\right)$, для$λ ∈ ℝ$, где мы предполагаем$(a,b) ≠ (0,0)$. Эта линия рассматривается с точки зрения времени как движение вдоль$x$ось со скоростью$u$, где$a = u b$. Если$b = 0$, то скорость бесконечна:$u = ∞$, а линия во временном отношении рассматривается вовсе не как движение, а как реальная линия в пространстве, существующая в данный момент, а именно: во время$t_0$.

Поскольку мы спрашиваем только о скоростях (и наклонах), то без какой-либо реальной потери общности предположим также, что линия проходит через начало координат.$(0,0)$, с$\left(x_0, t_0\right) = (0,0)$.

Действие координат при ускорении скоростью$v$в направлении, параллельном$x$ось задается:

$$(x, t) → \left(\frac{x - v t}{\sqrt{1 - α v^2}}, \frac{t - α v x}{\sqrt{1 - α v^2}}\right).$$ Это является общим для большого количества случаев, а именно:

• $α = 0$: Геометрии, в которых бесконечность — это абсолютная скорость; т.е. геометрия нерелятивистской теории.
• $α > 0$: Геометрии, обладающие конечной ненулевой абсолютной скоростью.$c = 1/\sqrt{α}$; т.е. геометрия, которой подчиняется специальная теория относительности.
• $α < 0$: евклидова геометрия, где$t$на самом деле является пространственным измерением, а вовсе не измерением времени, а скорости — это просто наклоны.

Преобразование подлежит следующему ограничению: $$1 - α v^2 > 0,$$ который действует только в случаях$α > 0$, ограничивая скорость повышающего преобразования до$|v| < c$.

Так,$u$не имеет ограничений, но$v$делает - когда в случае$α > 0$относительности.

Для евклидовой геометрии$α < 0$, преобразования, записанные в такой форме, описывают только повороты в диапазоне от -90 градусов до +90 градусов и являются лишь подмножеством полного диапазона, поскольку вы можете перевернуться на 180 градусов, но мы не будем слишком беспокоиться об этом. что; поскольку этот случай не является центральным для нашего вопроса здесь.

При преобразовании уравнение линии принимает вид

$$(x,t) = \left(λ a, λ b\right) → \left(λ \frac{a - v b}{\sqrt{1 - α v^2}}, λ \frac{b - α v a}{\sqrt{1 - α v^2}}\right) = \left(Λ (a - v b), Λ (b - α v a)\right),$$ где$Λ = λ/\sqrt{1 - α v^2}$. Это описывает линию со скоростью $$u' = \frac{a - v b}{b - α v a}.$$ В случае$b ≠ 0$, где$u = a/b$конечен и отличен от нуля, то при делении и верха, и низа на$b$, это становится: $$u' = \frac{u - v}{1 - α u v}.$$ В случае$b = 0$, где$u = ∞$, это становится: $$u' = \frac{1}{-αv}.$$ Для нерелятивистского случая$α = 0$, он остается бесконечным:$u' = ∞$, иначе для теории относительности, где$α = 1/c^2$, это становится$u' = -c^2/v$. Наконец, в случае, когда$α u v = 1$, у нас есть$u' = ∞$. Это включает в себя вышеупомянутый случай для нерелятивистской теории. Для относительности с$u v = c^2$, с$|v| < c$, то это может применяться только в том случае, если$|u| > c$- т.е. к тахионам.

Итак, тахионы вовсе не являются «вещами, движущимися в пространстве во времени», а существуют просто как линии в пространстве, которые существуют (по крайней мере, в одной системе отсчета) в данный момент.

Нерелятивистская версия этого соответствует мгновенной форме того, что неофициально называлось «силовой линией», поскольку она передает мгновенную передачу импульса в пространстве.

Вы можете обобщить это дальше, чтобы включить «Кэрроллову» и «статическую» вселенные, добавив второй коэффициент деформации$β$и обобщая преобразование на:

$$(x, t) → \left(\frac{x - β v t}{\sqrt{1 - αβ v^2}}, \frac{t - α v x}{\sqrt{1 - αβ v^2}}\right).$$ Здесь скорость света$c = \sqrt{β/α}$, когда$αβ > 0$, причем уже рассмотренные случаи соответствуют$β = 1$. Вместо этого соответствующее преобразование становится $$u' = \frac{a - β v b}{b - α v a}.$$ Для кэрролловской и статической вселенных$β = 0$, надо: $$u' = \frac{a}{b - α v a}.$$ Тогда на самом деле лучше рассмотреть обратные скорости и написать $$\frac{1}{u'} = \frac{1}{u} - α v.$$

Нулевая скорость$u = 0$(т.е.$a = 0$) переходит в нулевую скорость:$u' = 0$: как в статической, так и в кэрролловской вселенной, т.е. 0 - это абсолютная скорость. В статической вселенной тоже есть$α = 0$, и преобразование просто$u' = a/b = u$, так что все скорости абсолютны в статической вселенной. В противном случае для кэрролловской вселенной (где$α ≠ 0$), бесконечная скорость$u = ∞$и$b = 0$, преобразуется как$u' = 1/(-αv)$, как и в случае относительности.