Релятивистское преобразование c2/vc2/vc^2/v

Ну и чего это стоит:

Исправить$w$и положи$f(v)=(v+w)/(1+vw)$. Думать о$f$как карта из${\mathbb R}^+$к себе.

(Здесь${\mathbb R}^+$положительные действительные числа.$f$также определяется для отрицательных вещественных чисел, но неважно сейчас.)

То, что вы говорите, эквивалентно:

$f$коммутирует с взятием инверсий.

Мы можем определить${\mathbb R}^+$с${\mathbb R}$применяя функцию журнала в одном направлении и функцию exp в другом. Эти карты являются гомоморфизмами и, таким образом, обратны к негативам. После этой идентификации у нас есть карта$\hat{f}:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb R}$задано явно$x\mapsto \log(f(\exp(x)))$. В соответствии с этой идентификацией и учетом того, что было сказано о гомоморфизмах, вы говорите, что

$\hat{f}$коммутирует с умножением на $-1$

или другими словами

$\hat{f}$является нечетной функцией.

Это легко подтверждается прямым расчетом и/или обращением к расчету в вашем посте.

Я не уверен, что это что-то добавляет, кроме как указать, что ваше наблюдение сводится к тому факту, что конкретная функция является странной. Странные функции не так уж и редки, и не всегда считается странным, что они появляются время от времени, так что, возможно, это все, что нужно.

Немного перефразируя, релятивистский закон сложения говорит, что если$v_1$и$v_2$сумма к$v$, который мы запишем как$v_1 \oplus v_2 = v$, то их «углы наддува» (или быстроты) складываются напрямую. То есть,

$$\tanh \phi_i = v_i, \quad \tanh \phi = v, \quad \phi_1 + \phi_2 = \phi.$$ Ваше наблюдение заключается в том, что $1/v_1 \oplus v_2 = 1/v$также, что эквивалентно показу, что $$\text{arctanh}(a) - \text{arctanh}(1/a) = \text{constant}$$ для всех $a \in (-1, 1)$. И это оказывается правдой, так что, возможно, ваш результат просто сводится к случайному свойству arctanh.

Я попытался придумать физическое объяснение. Имея$|v| > 1$соответствует сложному «углу наддува»$\phi$. Я не знаю, что это значит, и это еще больше сбивает с толку, потому что углы наддува уже являются «воображаемыми» обобщениями обычных углов поворота (т.е. это то, что вы получаете, если поворачиваете на воображаемый угол). Так что, может быть$|v| > 1$возвращает его обратно к нормальному вращению, но я его не вижу.

При ускорении относительной пространственной скоростью$w=v_{CB}=\tanh\omega$, вектор 4-скорости Боба преобразуется в вектор 4-скорости Кэрол. Вызов$\omega$относительная быстрота между [временоподобными] 4-скоростями.

Преобразование [пространственно-]скорости

$$v_{CA}=\frac{v_{BA}+v_{CB}}{1+v_{BA}v_{CB}}$$ обеспечивает ее пространственную скорость [наклон вектора 4-скорости Кэрол] $v'=v_{CA}=\tanh(\theta+\omega)$с точки зрения пространственной скорости Боба $v=v_{BA}=\tanh\theta$и относительная пространственная скорость $w=v_{CB}=\tanh\omega$.

Это ускорение также трансформирует «пространственную ось» Боба [с наклоном$1/v_{BA}$] в «пространственную ось» Кэрол [с наклоном$1/v_{CA}$]. (Это верно, потому что в геометрии пространства-времени Минковского два направления перпендикулярны в этой геометрии, когда произведение наклонов равно +1... в отличие от евклидова случая, когда произведение равно$-1$. Обратите внимание, что, взяв произведение двух формул в OP, правая часть упрощается.)

Хотя, с технической точки зрения, угол между пространственноподобными линиями не является скоростью ... эти пространственноподобные линии особенные, потому что они соответственно перпендикулярны 4-скоростям в задаче (скорости Алисы [не показаны] и Боба и Кэрол) и компланарны со всеми ними.

---

ОБНОВЛЯТЬ:

---

Вот алгебраический расчет, подтверждающий приведенную выше диаграмму пространства-времени.

я использую подпись$(+,-)$, где мой первый компонент — это компонент времени.

Позволять$\hat V=\left(\begin{array}{c} \cosh{B} \\ \sinh{B} \end{array}\right)$— 4-скорость Боба (времяподобный вектор). Его пространственная скорость$v=\rm{slope}=\frac{\rm spatial\ component}{\rm temporal\ component}=\frac{\sinh B}{\cosh B}=\tanh{B}$.

Позволять$M=\gamma\left(\begin{array}{cc} 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{array}\right)$быть бустом, который отображает 4-вектор Боба в 4-вектор Кэрол. (Скорость наддува$\beta$соответствует$w$в OP.) Я намеренно смешиваю обозначения, чтобы отличить компоненты наддува от компонентов с 4 скоростями.

Итак, мы получаем 4-скорость Кэрол.

$$\begin{align} \hat V'&=M\hat V\\ \hat V'&= \gamma\left(\begin{array}{cc} 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \cosh{B} \\ \sinh{B} \end{array}\right)\\ &= \gamma\left(\begin{array}{c} \cosh{B} + \beta\sinh{B} \\ \beta\cosh{B}+\sinh{B} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} \cosh{C} \\ \sinh{C} \end{array}\right)\\ \end{align}$$ $\hat V'$имеет уклон $$v'=\tanh{C}=\frac{\beta\cosh{B}+\sinh{B}}{\cosh{B} + \beta\sinh{B}} =\frac{\beta+\tanh{B}}{1+\beta\tanh{B}}=\frac{\beta+v}{1+\beta v},$$ преобразование скорости (уравнение ОП 1).

---

Следующий...

Позволять$\hat V_{\perp}=\left(\begin{array}{c} \sinh{B} \\ \cosh{B} \end{array}\right)$быть единичным вектором x Боба (пространственноподобным вектором, ортогональным его 4-скорости$\hat V$). Он имеет уклон$v_{\perp}=\frac{\cosh B}{\sinh B}=\coth B=\frac{1}{v}$.

Boost сопоставит этот вектор с вектором unit-x Кэрол.$\hat V_{\perp}'$(пространственноподобный вектор, ортогональный 4-скорости Кэрол$\hat V'$). Так,

$$\begin{align} \hat V_{\perp}'&=M\hat V_{\perp}\\ \hat V_{\perp}'&= \gamma\left(\begin{array}{cc} 1 & \beta \\ \beta & 1 \end{array}\right) \left(\begin{array}{c} \sinh{B} \\ \cosh{B} \end{array}\right)\\ &= \gamma\left(\begin{array}{c} \sinh{B} + \beta\cosh{B} \\ \beta\sinh{B}+\cosh{B} \end{array}\right) \end{align}$$ $\hat V_{\perp}'$имеет уклон $$v_{\perp}'=\frac{\beta\sinh{B}+\cosh{B}}{\sinh{B} + \beta\cosh{B}} =\frac{\beta+\coth{B}}{1+\beta\coth{B}}=\frac{\beta+v_{\perp}}{1+\beta v_{\perp}}=\frac{\beta+(\frac{1}{v})}{1+\beta (\frac{1}{v})},$$ назовем это пространственноподобным преобразованием наклона (уравнение 2 ОП).

Для полноты следует показать, что$v_{\perp}'=\frac{1}{v'}$.

$$\begin{align} v_{\perp}' &\stackrel{?}{=}\frac{1}{v'}\\ &\stackrel{?}{=}\frac{1+\beta v}{\beta + v}\\ &\stackrel{\surd}{=}\frac{(\frac{1}{v})+\beta }{\beta (\frac{1}{v}) +1}\\ \end{align}$$ ... и мы закончили.

На мой взгляд, ФИЗИЧЕСКАЯ интерпретация состоит в том, что это наклон оси X наблюдателя. (Вероятно, можно найти и другие толкования... но в основе всего... именно этот уклон.)

---

ОБНОВЛЕНИЕ № 2 (в ответ на обновление и комментарии ОП):

В ускорении Лоренца мы можем увидеть, как 4-скорость и пространственная ось наблюдателя трансформируются дополнительным образом, рассматривая «ромб световых часов» на «повернутой миллиметровой бумаге».

Это взято из записи в блоге, которую я внес на https://www.physicsforums.com/insights/relativity-rotated-graph-paper/
. Это основано на моей недавней статье («Относительность на повернутой миллиметровой бумаге», Am. J Phys., 84, 344 (2016); http://dx.doi.org/10.1119/1.4943251 ).

На этих диаграммах время идет вверх.
Алмазы Световых Часов вычерчены пространственно-временными путями световых сигналов в продольных световых часах. Мировые линии зеркал световых часов не показаны, но подразумеваются событиями отражения. В каждом такте световых часов эти события являются «пространственными» по мнению наблюдателя, несущего эти световые часы. То есть это направление перпендикулярно по Минковскому 4-скорости этого наблюдателя. Визуально это означает, что диагонали бриллианта световых часов перпендикулярны друг другу по Минковскому.

При бусте ромб световых часов Алисы должен превратиться в ромб световых часов Боба, который должен иметь ребра, параллельные световому конусу (для сохранения скорости света), и должен иметь сохраненную площадь (поскольку бустинг Лоренца имеет определитель, равный один). [Площадь оказывается квадратным интервалом OF.]

Геометрически вершина 4-скорости движется по единичной гиперболе с центром в начале координат. [Это гарантирует сохранение площади алмаза]. В точке пересечения касательная к гиперболе перпендикулярна по Минковскому 4-скорости [единичный радиус-вектор]. Эта касательная параллельна пространственноподобной диагонали алмаза световых часов.
Таким образом, диагональ YZ перпендикулярна по Минковскому диагонали OF.

Ссылка: Об отношениях де Бройля, что такое E? Его энергия чего?

В моем ответе по ссылке выше содержится трехмерная версия этого результата. Это не странно и не смешно. Мы можем назвать его «законом преобразования фазовых скоростей» по аналогии с «законом преобразования скоростей частиц». Отложите на время сопровождающую частицу: в 1-мерной фазе$\:\phi=\omega t\!-\!kx\:$в рамке$\:\mathrm{S}\:$распространяющийся со скоростью$\:\mathrm{w}=\omega/k\:$является лоренц-инвариантным скаляром

$$\begin{equation} \phi'=\omega' t'\!-\!k'x'=\omega t\!-\!kx=\phi \tag{01} \end{equation}$$ распространяющийся со скоростью $\:\mathrm{w'}=\omega'/k'\:$относительно кадра $\:\mathrm{S'}$. Если $\:\mathrm{S'}$движется со скоростью $\:-\upsilon\:$относительно $\:\mathrm{S}\:$затем $$\begin{equation} \left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w'}}\right)=\dfrac{\upsilon+\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{1+\dfrac{\upsilon}{\mathrm{w}}}=\dfrac{\upsilon+\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{1+\dfrac{\upsilon\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{c^2}} \tag{02} \end{equation}$$ определение $$\begin{equation} u\stackrel{def}{\equiv}\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)\,,\quad u'\stackrel{def}{\equiv}\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w'}}\right) \tag{03} \end{equation}$$ уравнение (02) напоминает нам релятивистскую сумму скоростей частиц $\:\upsilon, u$ $$\begin{equation} u'=\dfrac{\upsilon+u}{1+\dfrac{\upsilon u}{c^2}} \tag{04} \end{equation}$$ С другой стороны, это же уравнение (02), выраженное как $$\begin{equation} \quad \mathrm{w'}=\dfrac{\upsilon+\mathrm{w}}{1+\dfrac{\upsilon \mathrm{w}}{c^2}} \tag{02'} \end{equation}$$ напоминают релятивистскую сумму скоростей частиц, но теперь это уравнение справедливо и для сверхсветовых скоростей ( $\:\mathrm{w}>c,\mathrm{w'}>c\:$).

Теперь, если фаза$\:\phi=\omega t\!-\!kx\:$является «сверхсветовым»:$\:\mathrm{w}=\omega/k>c\:$, то она обладает этим свойством во всех системах отсчета ⁽¹⁾ и скоростях$\:u, u'\:$в (03) являются «субсветовыми»:$\:u<c, u'<c\:$соответствует частице и наоборот: частице со скоростью$\:u<c\:$соответствует сопровождающая «сверхсветовая» плоская фазовая волна, распространяющаяся со скоростью$\:\mathrm{w}=c^2/u>c$. И эта картина лоренц-инвариантна, то есть одинакова во всех системах отсчета. Кроме того, произведение скорости частицы на скорость волны неизменно.

$$\begin{equation} u'\cdot w'=c^2=u\cdot w \tag{04'} \end{equation}$$

---

^{(1) Преобразование Лоренца между двумя вышеупомянутыми системами$\:\mathrm{S},\mathrm{S'}$для пространственно-временных координат$\:\left(x,t\right)\:$является}

$$\begin{align} x &=\gamma_{\upsilon}\left(x'-\upsilon t'\right) \tag{05.1}\\ t &=\gamma_{\upsilon}\left(t'-\dfrac{\upsilon x'}{c^2}\right) \tag{05.2} \end{align}$$ и инвертированием ( $\upsilon \rightarrow -\upsilon$) $$\begin{align} x' &=\gamma_{\upsilon}\left(x+\dfrac{\upsilon}{c}c t\right) \tag{06.1}\\ ct' &=\gamma_{\upsilon}\left(ct+\dfrac{\upsilon}{c}x\right) \tag{06.2} \end{align}$$ Для плоской фазовой волны $$\begin{align} \phi \left(x,t\right) & = \omega \; t -k\; x= \omega \underbrace{\left[\gamma_{\upsilon}\left(t'-\dfrac{\upsilon x'}{c^2}\right)\right]}_{t} -k\,\underbrace{\biggl[\gamma_{\upsilon}\left(x'-\upsilon t'\right)\biggr]}_{x} \nonumber\\ & = \underbrace{\biggl[ \gamma_{\upsilon}\left(\omega+k\,\upsilon\right)\biggr]}_{\omega'} t^{\boldsymbol{\prime}} - \underbrace{\biggl[ \gamma_{\upsilon}\left(k+\dfrac{\upsilon \omega}{c^2}\right)\biggr]}_{k'} x' = \omega'\, t' - k'\,x'=\phi'\left( x',t'\right) \tag{07} \end{align}$$ то есть $$\begin{align} ck' &=\gamma_{\upsilon}\left(ck+\dfrac{\upsilon}{c}\omega\right) \tag{08.1}\\ \omega' &=\gamma_{\upsilon}\left(\omega+\dfrac{\upsilon }{c}ck\right) \tag{08.2} \end{align}$$ Из (08) видим, что 2-вектор $$\begin{equation} \boldsymbol{\Omega} \stackrel{def}{\equiv} \left(\omega,ck \right) \tag{09} \end{equation}$$ преобразуется как пространственно-временной 2-вектор $$\begin{equation} \mathbf{X} = \left(ct,x\right) \tag{10} \end{equation}$$ Фаза является инвариантом Лоренца как скалярное произведение двух векторов в пространстве Минковского. $$\begin{equation} \phi '\left( x',t'\right)= \omega' t' - k'x' = \dfrac{1}{c} \left(\boldsymbol{\Omega}^{\boldsymbol{\prime}}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{X}^{\boldsymbol{\prime}} \right)= \dfrac{1}{c} \left(\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\cdot}\mathbf{X} \right)= \omega \; t -k x=\phi \left(x,t\right) \tag{11} \end{equation}$$ Разделив уравнения (08), имеем $$\begin{equation} \left(\dfrac{c^2 k'}{\omega'}\right)=\dfrac{\left(\dfrac{c^2 k}{\omega}\right)+\upsilon}{1+\dfrac{\upsilon \left(\dfrac{c^2 k}{\omega}\right)}{c^2}} \tag{12} \end{equation}$$ Имея в виду, что скорость фазовой волны $\:\mathrm{w}=\omega/k \:$в кадре $\:\mathrm{S}\:$и $\:\mathrm{w'}=\omega'/k'\:$в кадре $\:\mathrm{S'}\:$ваше уравнение (02) доказано $$\begin{equation} \left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w'}}\right)=\dfrac{\upsilon+\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{1+\dfrac{\upsilon}{\mathrm{w}}}=\dfrac{\upsilon+\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{1+\dfrac{\upsilon\left(\dfrac{c^2}{\mathrm{w}}\right)}{c^2}} \tag{02} \end{equation}$$

---

^{(2) На рисунке 02 ниже все точки прямоугольника включены одновременно в момент времени.$\:t_{1}\:$в кадре$\:\mathrm{S}\:$и оставайтесь в этом включенном состоянии в течение$\:t\ge t_{1}$. Можно сказать, что это плоская фазовая волна с$\:\mathrm{w}=\infty\:$, длина волны$\:\lambda=\infty\:$, то есть$\:k=2\pi/\lambda=0\:$.}

^{В кадре$\:\mathrm{S'}\:$точки прямоугольника постепенно включаются фронтом «сверхсветовой» плоской фазовой волны, распространяющейся со скоростью$\:\mathrm{w'}=c^2/\upsilon >c$. Включение завершается в интервале времени$\:\Delta t'=\gamma_{\upsilon}\upsilon \ell/c^2\:$где$\:\ell\:$ширина прямоугольника в кадре$\:\mathrm{S}\:$параллельно скорости$\:\boldsymbol{\upsilon}$.}

В дополнение к ответу @robphy я продолжал искать какое-то волновое явление, в котором играет роль закон композиции для обратной скорости в моем вопросе, и я думаю, что нашел его.

Рассмотрим интерференцию двух световых волн, распространяющихся в противоположных направлениях и с разными частотами,

$$\begin{align} &\cos \omega_1\left(t - \frac{x}{c}\right) + \cos \omega_2\left(t + \frac{x}{c}\right)\\ =& 2\cos\left(\omega t - \frac{\Delta\omega}{c}x\right)\cos\left(\Delta\omega t - \frac{\omega}{c}x\right) \end{align}$$

где

$$\begin{align} \omega &= \frac{\omega_1+\omega_2}{2},\\ \Delta\omega&=\frac{\omega_1-\omega_2}{2}. \end{align}$$

Фазовые скорости для соответственно фазы первого и второго косинуса равны

$$\begin{align} v_1 &= c\frac{\omega}{\Delta\omega},\\ v_2 &= c\frac{\Delta\omega}{\omega}. \end{align}$$

Будучи фазовыми скоростями, обе они преобразуются по релятивистской формуле сложения скоростей, но тогда

$$v_1 v_2 = c^2.$$