Доказать единственность тензора вращения, связанного с вращением твердого тела.

Question

Доказать единственность тензора вращения, связанного с вращением твердого тела.

Дэн

Предположим, есть $N$ частицы, внедренные в твердое тело, которое подвергается некоторому хаотичному вращению, так что:

{\bar{\bar{р}}}_{я Дж} \otimes {\vec{а}}_{я Дж} "=" {\vec{б}}_{я Дж}

$\overline{\overline {R}}_{ij} \otimes \vec{a}_{ij} = \vec{b}_{ij}$

где,

$i$ и $j$ всего лишь две случайные частицы из $N$ частицы
$\vec{a}_{ij}$ представляет собой вектор, соединяющий $i^{th}$ и $j^{th}$ частица
$\vec{b}_{ij}$ это повернутая версия $\vec{a}_{ij}$
$\overline{\overline {R}}_{ij}$ – тензор вращения, отвечающий за вращение $\vec{a}_{ij}$ к $\vec{b}_{ij}$

Я намерен доказать, что $\overline{\overline {R}}_{ij}$ остается одинаковым для всех комбинаций $i$ и $j$ принадлежащий множеству $[1,N]$ для $(i \neq j)$ используя наиболее фундаментальное определение твердого тела, что это набор частиц, которые остаются равноудаленными друг от друга.

Обновление моих усилий:

Используя определение твердого тела — расстояние между любыми двумя частицами остается постоянным, мы также можем сказать, что — скалярное произведение любых двух векторов, соединяющих частицы, внедренные в твердое тело, остается одним и тем же до и после поворота.

Итак, с учетом $i^{th}, j^{th}, k^{th}$ и $l^{th}$ частица, мы можем написать -

скалярное произведение векторов до поворота = скалярное произведение двух векторов после поворота

{\vec{а}}_{Дж я} \cdot {\vec{а}}_{л к} "=" ({\bar{\bar{р}}}_{Дж я} \otimes {\vec{а}}_{Дж я}) \cdot ({\bar{\bar{р}}}_{л к} \otimes {\vec{а}}_{л к})

$\vec{a}_{ji} \cdot \vec{a}_{lk}=(\overline{\overline {R}}_{ji} \otimes \vec{a}_{ji}) \cdot (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \vec{a}_{lk})$

Теперь, используя свойство канонического изоморфизма тензорного произведения:

\vec{Икс} \cdot (\bar{\bar{Z}} \otimes \vec{у}) "=" \vec{у} \cdot ({\bar{\bar{Z}}}^{Т} \otimes \vec{Икс})

$\vec{x} \cdot (\overline{\overline Z} \otimes \vec{y}) = \vec{y} \cdot (\overline{\overline {Z}}^T \otimes \vec{x})$

У нас есть,

{\vec{а}}_{Дж я} \cdot {\vec{а}}_{л к} "=" {\vec{а}}_{л к} \cdot [{\bar{\bar{р}}}_{л к}^{Т} \otimes ({\bar{\bar{р}}}_{Дж я} \otimes {\vec{а}}_{Дж я})]

$\vec{a}_{ji} \cdot \vec{a}_{lk} = \vec{a}_{lk} \cdot [\overline{\overline {R}}^T_{lk} \otimes (\overline{\overline {R}}_{ji} \otimes \vec{a}_{ji}) ]$

Используя ассоциативное свойство тензорного произведения:

{\vec{а}}_{Дж я} \cdot {\vec{а}}_{л к} "=" {\vec{а}}_{л к} \cdot ({\bar{\bar{р}}}_{л к}^{Т} \otimes {\bar{\bar{р}}}_{Дж я}) \otimes {\vec{а}}_{Дж я}

$\vec{a}_{ji} \cdot \vec{a}_{lk} = \vec{a}_{lk} \cdot (\overline{\overline {R}}^T_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}_{ji}) \otimes \vec{a}_{ji}$

Затем, снова используя свойство канонического изоморфизма, мы имеем:

{\vec{а}}_{Дж я} \cdot {\vec{а}}_{л к} "=" {\vec{а}}_{Дж я} \cdot ({\bar{\bar{р}}}_{л к} \otimes {\bar{\bar{р}}}_{Дж я}^{Т}) \otimes {\vec{а}}_{л к}

$\vec{a}_{ji} \cdot \vec{a}_{lk} = \vec{a}_{ji} \cdot (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji}) \otimes \vec{a}_{lk}$

Что подразумевает,

{\vec{а}}_{Дж я} \cdot {[\bar{\bar{1}} - ({\bar{\bar{р}}}_{л к} \otimes {\bar{\bar{р}}}_{Дж я}^{Т})] \otimes {\vec{а}}_{л к}} "=" 0

$\vec{a}_{ji} \cdot \{ [\overline{\overline {1}} - (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})] \otimes \vec{a}_{lk} \}=0$

Теперь, учитывая тот факт, что выбранные векторы $\vec{a}_{ji}$ и $\vec{a}_{lk}$ отличны от нуля, левая часть может стать нулевой только при следующих условиях:

Либо последнее тензорное произведение равно нулю
Или первое скалярное произведение равно нулю
Или тензор, $[\overline{\overline {1}} - (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})]$ , сам равен нулю
Или любая комбинация трех вышеупомянутых условий верна

Теперь, если я каким-то образом докажу, что первый, второй и четвертый пункты неверны, у меня останется только одна возможность, что, $[\overline{\overline {1}} - (\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})]=0$ , доказательство которого также является моей основной задачей прямо сейчас. И вот тут мне понадобилась помощь. Если то, о чем я просил, будет доказано, остальная часть задачи вполне разрешима. Спасибо.

Льюис Миллер

Подсказка: выберите любую третью частицу (k). Сложите векторы между любыми двумя, чтобы получить вектор между 1-м и 3-м. Теперь предположим, что тензор вращения не уникален для 1-3 векторов. Это должно привести к чему-то другому, кроме суммирования всех трех векторов в повернутой системе координат. Следовательно, матрица вращения уникальна.

Дэн

@ Сэр Льюис Миллер. Сначала я напишу, что, по моему мнению, вы имели в виду. Поправьте меня, если я ошибаюсь. Изначально:

{\vec{а}}_{Дж к} + {\vec{а}}_{я Дж} "=" {\vec{а}}_{к я}

$\vec{a}_{jk} + \vec{a}_{ij} = \vec{a}_{ki}$ После вращения:

{\bar{\bar{р}}}_{Дж к} \otimes {\vec{а}}_{Дж к} + {\bar{\bar{р}}}_{я Дж} \otimes {\vec{а}}_{я Дж} "=" {\bar{\bar{р}}}_{к я} \otimes {\vec{а}}_{к я}

$\overline{\overline {R}}_{jk} \otimes \vec{a}_{jk} + \overline{\overline {R}}_{ij} \otimes \vec{a}_{ij} = \overline{\overline {R}}_{ki} \otimes \vec{a}_{ki}$ что также подразумевает:

{\vec{б}}_{Дж к} + {\vec{б}}_{я Дж} "=" {\vec{б}}_{к я}

$\vec{b}_{jk} + \vec{b}_{ij} = \vec{b}_{ki}$

Дэн

Но, сэр, как вышеприведенные уравнения подразумевают, что:

{\bar{\bar{R}}}_{j k} = {\bar{\bar{R}}}_{i j} = {\bar{\bar{R}}}_{k i}

$\overline{\overline {R}}_{jk}=\overline{\overline {R}}_{ij}=\overline{\overline {R}}_{ki}$ ? Я думаю, для доказательства всего этого нам придется также использовать тот факт, что расстояние между частицами остается постоянным после вращения (чтобы усилить ограничение, накладываемое жесткостью тела).

Вальтер Моретти

Ответ элементарный: по определению! Трехмерное твердое тело по определению является телом, с которым всегда находится система отсчета. Если вы описываете положение тела, используя другую систему отсчета, находящуюся в покое с лабораторией, то единственный поворот, который вступает в игру, — это тот, который соединяет лабораторную систему отсчета с системой покоя, только один оборот для всех частиц тела.

Дэн

@ Сэр Вальтер Моретти... Понятно. Раньше я не знал этого определения. Кстати, сэр, я пытался доказать это с помощью другого подхода, и я обновил свои усилия по самому исходному посту, но я все еще застреваю в конце и нуждаюсь в вашей помощи. Заранее большое спасибо!

Дэн

@ Сэр Вальтер Моретти ... Но я хотел доказать, что все тело вращается вместе, используя более фундаментальное определение, согласно которому в твердом теле расстояние между частицами остается постоянным.

Джон Алексиу

Вы действительно спрашиваете, почему вращения твердого тела ортонормированы так, что $R^{-1} = R^\intercal$ . Это то место, на котором вы застряли, и вам нужно показать это в заголовке, иначе это запутает читателя.

Дэн

@ ja72.. На самом деле сейчас я не пытаюсь доказать то, что ты только что сказал. Я попытаюсь доказать это после того, как докажу то, что я пытаюсь доказать здесь, а именно: «тенор вращения для всего твердого тела уникален».

Джон Алексиу

Я прочитал вашу последнюю строчку, в которой говорится: «Теперь я не знаю, как доказать, что

{\bar{\bar{R}}}_{l k} = {\bar{\bar{R}}}_{j i}

$\overline{\overline {R}}_{lk}=\overline{\overline {R}}_{ji}$ . И здесь мне нужна была помощь».

Дэн

@ ja72.. Да, верно, сэр. Если бы я мог доказать

{\bar{\bar{R}}}_{l k} = {\bar{\bar{R}}}_{j i}

$\overline{\overline {R}}_{lk}=\overline{\overline {R}}_{ji}$ , то я бы эквивалентно доказал, что «тенор вращения для всего твердого тела уникален», что, как я уже упоминал, является моей основной целью.

Дэн

@ja72 Пожалуйста, найдите мой ответ здесь. Я пишу этот комментарий снова, потому что в прошлый раз я забыл отправить вам пинг.

Дэн

@LewisMiller Пожалуйста, найдите мой ответ здесь. Я пишу этот комментарий снова, потому что в прошлый раз я забыл отправить вам пинг.

Дэн

@ValterMoretti Пожалуйста, найдите мой ответ здесь. Я пишу этот комментарий снова, потому что в прошлый раз я забыл отправить вам пинг.

Льюис Миллер

@ Дэн, я решил проверить и посмотреть, сможет ли мой намек решить твою проблему. В особом случае можно выбрать три частицы так, что линии, соединяющие их, образуют прямоугольный треугольник. Используя теорему Пифагора, а также тот факт, что скалярное произведение между двумя более короткими ногами равно нулю, вы можете показать, что если все матрицы вращения различны (

R_{1}, R_{2}, R_{3}

$R_1, R_2, R_3$ ) затем

р_{3}^{- 1} р_{2} "=" р_{3}^{- 1} р_{1} "=" я

$R_3^{-1}R_2=R_3^{-1}R_1=I$ . Это доказывает, что они не разные, а идентичные.

Дэн

@LewisMiller Большое спасибо, сэр. Как вы сказали, ваше обсуждение справедливо для частного случая прямоугольного треугольника. Можно ли каким-либо образом обобщить его на все твердое тело?

Льюис Миллер

@Dan Да, я считаю, что мой результат можно обобщить. Возьмите наугад любые три точки и начертите треугольник. Теперь добавьте четвертую точку, чтобы исходный треугольник был разделен на два прямоугольных треугольника. Мое доказательство теперь верно для каждого из этих треугольников и, таким образом, охватывает две стороны исходного треугольника и две части третьей стороны. Поскольку ориентация вектора не зависит от его величины, покрывается вся третья нога.

Дэн

@LewisMiller Понятно. Между прочим, я добился некоторого прогресса в решении проблемы (и снова обновил свои усилия), и все, что теперь осталось сделать, это доказать, что

({\bar{\bar{р}}}_{л к} \otimes {\bar{\bar{р}}}_{Дж я}^{Т}) "=" \bar{\bar{1}}

$(\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})=\overline{\overline {1}}$ с математической достоверностью.

Льюис Миллер

@Дэн Удачи. Я вовсе не уверен, что мое доказательство было самым простым способом доказать это. Это просто первый подход, который пришел на ум.

Ответы (1)

Доказать единственность тензора вращения, связанного с вращением твердого тела.

Подсказка: выберите любую третью частицу (k). Сложите векторы между любыми двумя, чтобы получить вектор между 1-м и 3-м. Теперь предположим, что тензор вращения не уникален для 1-3 векторов. Это должно привести к чему-то другому, кроме суммирования всех трех векторов в повернутой системе координат. Следовательно, матрица вращения уникальна.
@ Сэр Льюис Миллер. Сначала я напишу, что, по моему мнению, вы имели в виду. Поправьте меня, если я ошибаюсь. Изначально: ${\vec{а}}_{Дж к} + {\vec{а}}_{я Дж} "=" {\vec{а}}_{к я}$ $\vec{a}_{jk} + \vec{a}_{ij} = \vec{a}_{ki}$ После вращения: ${\bar{\bar{р}}}_{Дж к} \otimes {\vec{а}}_{Дж к} + {\bar{\bar{р}}}_{я Дж} \otimes {\vec{а}}_{я Дж} "=" {\bar{\bar{р}}}_{к я} \otimes {\vec{а}}_{к я}$ $\overline{\overline {R}}_{jk} \otimes \vec{a}_{jk} + \overline{\overline {R}}_{ij} \otimes \vec{a}_{ij} = \overline{\overline {R}}_{ki} \otimes \vec{a}_{ki}$ что также подразумевает: ${\vec{б}}_{Дж к} + {\vec{б}}_{я Дж} "=" {\vec{б}}_{к я}$ $\vec{b}_{jk} + \vec{b}_{ij} = \vec{b}_{ki}$
Но, сэр, как вышеприведенные уравнения подразумевают, что: $\overline{\overline {R}}_{jk}=\overline{\overline {R}}_{ij}=\overline{\overline {R}}_{ki}$ ? Я думаю, для доказательства всего этого нам придется также использовать тот факт, что расстояние между частицами остается постоянным после вращения (чтобы усилить ограничение, накладываемое жесткостью тела).
Ответ элементарный: по определению! Трехмерное твердое тело по определению является телом, с которым всегда находится система отсчета. Если вы описываете положение тела, используя другую систему отсчета, находящуюся в покое с лабораторией, то единственный поворот, который вступает в игру, — это тот, который соединяет лабораторную систему отсчета с системой покоя, только один оборот для всех частиц тела.
@ Сэр Вальтер Моретти... Понятно. Раньше я не знал этого определения. Кстати, сэр, я пытался доказать это с помощью другого подхода, и я обновил свои усилия по самому исходному посту, но я все еще застреваю в конце и нуждаюсь в вашей помощи. Заранее большое спасибо!
@ Сэр Вальтер Моретти ... Но я хотел доказать, что все тело вращается вместе, используя более фундаментальное определение, согласно которому в твердом теле расстояние между частицами остается постоянным.
Вы действительно спрашиваете, почему вращения твердого тела ортонормированы так, что $R^{-1} = R^\intercal$ . Это то место, на котором вы застряли, и вам нужно показать это в заголовке, иначе это запутает читателя.
@ ja72.. На самом деле сейчас я не пытаюсь доказать то, что ты только что сказал. Я попытаюсь доказать это после того, как докажу то, что я пытаюсь доказать здесь, а именно: «тенор вращения для всего твердого тела уникален».
Я прочитал вашу последнюю строчку, в которой говорится: «Теперь я не знаю, как доказать, что $\overline{\overline {R}}_{lk}=\overline{\overline {R}}_{ji}$ . И здесь мне нужна была помощь».
@ ja72.. Да, верно, сэр. Если бы я мог доказать $\overline{\overline {R}}_{lk}=\overline{\overline {R}}_{ji}$ , то я бы эквивалентно доказал, что «тенор вращения для всего твердого тела уникален», что, как я уже упоминал, является моей основной целью.
@ja72 Пожалуйста, найдите мой ответ здесь. Я пишу этот комментарий снова, потому что в прошлый раз я забыл отправить вам пинг.
@LewisMiller Пожалуйста, найдите мой ответ здесь. Я пишу этот комментарий снова, потому что в прошлый раз я забыл отправить вам пинг.
@ValterMoretti Пожалуйста, найдите мой ответ здесь. Я пишу этот комментарий снова, потому что в прошлый раз я забыл отправить вам пинг.
@ Дэн, я решил проверить и посмотреть, сможет ли мой намек решить твою проблему. В особом случае можно выбрать три частицы так, что линии, соединяющие их, образуют прямоугольный треугольник. Используя теорему Пифагора, а также тот факт, что скалярное произведение между двумя более короткими ногами равно нулю, вы можете показать, что если все матрицы вращения различны ( $R_1, R_2, R_3$ ) затем $р_{3}^{- 1} р_{2} "=" р_{3}^{- 1} р_{1} "=" я$ $R_3^{-1}R_2=R_3^{-1}R_1=I$ . Это доказывает, что они не разные, а идентичные.
@LewisMiller Большое спасибо, сэр. Как вы сказали, ваше обсуждение справедливо для частного случая прямоугольного треугольника. Можно ли каким-либо образом обобщить его на все твердое тело?
@Dan Да, я считаю, что мой результат можно обобщить. Возьмите наугад любые три точки и начертите треугольник. Теперь добавьте четвертую точку, чтобы исходный треугольник был разделен на два прямоугольных треугольника. Мое доказательство теперь верно для каждого из этих треугольников и, таким образом, охватывает две стороны исходного треугольника и две части третьей стороны. Поскольку ориентация вектора не зависит от его величины, покрывается вся третья нога.
@LewisMiller Понятно. Между прочим, я добился некоторого прогресса в решении проблемы (и снова обновил свои усилия), и все, что теперь осталось сделать, это доказать, что $({\bar{\bar{р}}}_{л к} \otimes {\bar{\bar{р}}}_{Дж я}^{Т}) "=" \bar{\bar{1}}$ $(\overline{\overline {R}}_{lk} \otimes \overline{\overline {R}}^T_{ji})=\overline{\overline {1}}$ с математической достоверностью.
@Дэн Удачи. Я вовсе не уверен, что мое доказательство было самым простым способом доказать это. Это просто первый подход, который пришел на ум.

Рик · Answer 1

Твоя проблема

Если вы пытаетесь доказать, что все $R$ должны быть равны для того, чтобы все расстояния оставались одинаковыми после поворота, у вас не получится, так как это неверно. Вращение $R_{ij}$ можно заменить любым другим вращением, которое отличается только вращением вокруг $a_{ij}$ например, скажи, что у тебя есть баллы $i=\langle 0,0,0 \rangle$ $j=\langle 1,0,0 \rangle$ и все $R$ были $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ затем $R_{ij}$ может быть любой матрицей такой, что $R_{ij} \otimes \langle 1,0,0 \rangle = \langle -1,0,0 \rangle$ и любая матрица вида $\begin{bmatrix} 0 & a & b \\ -1 & c & d \\ 0 & e & f \end{bmatrix}$ будет достаточно. Это тривиальный пример, чтобы продемонстрировать суть, но та же самая концепция верна в целом.

Что, я думаю, вас действительно интересует

Докажите, что для множества точек с координатами $p_i$ которые произвольно смещены к координатам $p'_i$ что если расстояния между каждой парой точек остаются постоянными при смещении, то существует уникальный $R$ такой, что $R\otimes p_i=p'_i$

И чтобы вы начали с доказательства, вы можете использовать $|p_i-p_j|=|p'_i-p'_j|$ как ограничение расстояния, которое можно переписать как $(p_i-p_j)\cdot(p_i-p_j)=(p'_i-p'_j)\cdot(p'_i-p'_j)$

Одна вещь, с которой вы, несомненно, столкнетесь, это то, что количество очков имеет значение. Вы должны иметь по крайней мере $n\frac{n-1}2$ точек, где n — количество имеющихся у вас измерений, чтобы ограничение уникальности выполнялось.

Этот вопрос и этот ответ показывают, что $n(n-1)/2$ является оптимальным числом.

Доказать единственность тензора вращения, связанного с вращением твердого тела.

Дэн

Льюис Миллер

Дэн

Дэн

Вальтер Моретти

Дэн

Дэн

Джон Алексиу

Дэн

Джон Алексиу

Дэн

Дэн

Дэн

Дэн

Льюис Миллер

Дэн

Льюис Миллер

Дэн

Льюис Миллер

Ответы (1)

Рик

Твоя проблема

Что, я думаю, вас действительно интересует

пользователь154997

Крутящий момент относительно начала частицы с использованием момента инерции (в 2D)

Ускорение поворотной штанги

Как эта многотельная система будет вращаться в свободном пространстве?

Почему колеса сделаны так, чтобы нести большую массу по окружности?

Как вращается твердое тело, состоящее из двух частиц?

Совершает ли сила большую работу над протяженным телом?

Путаница в динамике вращения

Цилиндр против цилиндра двойного радиуса катится по наклонной плоскости, какой из них побеждает?

Направление центростремительной силы при вертикальном круговом движении под действием силы тяжести

Как вывести соотношение для производной по времени во вращающейся системе отсчета