Крутящий момент относительно начала частицы с использованием момента инерции (в 2D)

(Вы можете пропустить этот вывод и перейти к моему последнему вопросу, если вы уже знакомы с результатами.$(1)$и$(2)'$от этого происхождения)

Предположим, мы находимся в плоскости xy:

В двух измерениях можно определить крутящий момент$\tau$как

$$\tau = I_O \ddot{\theta}$$ где $I_O$момент инерции тела относительно начала координат $O$и $\ddot{\theta}$- угловое ускорение центра масс тела вокруг начала координат.

Согласно теореме о параллельности осей момент инерции частицы вокруг начала координат равен

$$I_O = d^2M$$ где $d$- расстояние между началом координат и частицей и $M$это масса частицы.

Теперь предположим, что положение в полярных координатах частицы массы$M$, на который ссылаются из начала координат, задается вектором

$$\mathbf{r} = r\hat r+\theta\hat\theta$$

Расстояние до источника просто$r$так что мы получаем

$$I_O = r^2M$$

поэтому крутящий момент просто

$$(1):= \tau = Mr^2\ddot{\theta}$$

Мы снова вычисляем крутящий момент, используя известный факт, что

$$(2):=\tau = Force \cdot Distance = Fr$$ где $F$- результирующая сила, действующая на частицу в $\hat \theta$направлении, так как составляющая силы в $\hat r$направление не влияет на крутящий момент.

По второму закону Ньютона можно написать силу$F$как произведение массы частиц$M$и его ускорение$a_{\theta}$в$\hat \theta$направление

$$(3):= F=Ma_{\theta}$$

Ускорение частицы в$\hat \theta$направление можно найти, взяв два временных производных его вектора положения$\mathbf{r}$, а затем взяв скалярное произведение с единичным вектором$\hat \theta$. Делая это, мы получаем

$$(4):= a_{\theta}=\ddot{\vec{r}} \cdot \hat \theta = r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}$$

С$(4)$мы можем написать$(3)$как

$$F=M( r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta})$$

и$(2)$как

$$(2)':=\tau= Mr( r\ddot{\theta} + 2\dot{r}\dot{\theta}) = Mr^2\ddot{\theta} + 2Mr\dot{r}\dot{\theta}$$

Теперь давайте, наконец, сравним$(1)$и$(2)'$:

$$(1)= \tau = Mr^2\ddot{\theta}$$ $$(2)'= \tau = Mr^2\ddot{\theta} + 2Mr\dot{r}\dot{\theta}$$

Мы видим, что$(1)$и$(2)'$может быть равным только тогда, когда$\dot r = \dot \theta = 0$, что верно только тогда, когда частица не имеет скорости.

Что здесь происходит? Является$I_O = d^2M$действует только тогда, когда частица не имеет скорости? Как насчет реального твердого тела, состоящего из нескольких частиц, нельзя ли применить теорему о параллельных осях, когда скорость отлична от нуля?