Доказательство того, что собственные значения фермионных операторов рождения/уничтожения являются числами Грассмана.

Вероятно, во всех учебниках по многочастичным функциональным интегралам утверждается, что операторы, удовлетворяющие

а ^ † а ^ + а ^ а ^ † "=" 1
должны иметь собственные значения, удовлетворяющие
ψ ψ ′ + ψ ′ ψ "=" 0 ,
где ψ и ψ ′  являются двумя собственными значениями а ^ оператор:
а ^ | ψ ⟩ "=" ψ | ψ ⟩ , ⟨ ψ | а ^ † "=" ⟨ ψ | ψ ¯ .

Кажется интуитивным, но как это строго доказать?

"Наверное, это написано во всех учебниках..." Можете ли вы привести какую-нибудь конкретную ссылку, в которой это утверждается?
Из книг, находящихся у меня на данный момент, по крайней мере, Altland & Simons «Теория поля конденсированного состояния» и Peskin & Schröder «Введение в КТП» делают это.

Ответы (1)

Хотя эти уравнения правильны, не совсем корректно рассматривать их как уравнения на собственные значения.

В квантовой теории и бозонные, и фермионные операторы действуют в гильбертовом пространстве, поэтому имеют обычные числовые матричные элементы и собственные значения. Одна из возможных реализаций гильбертова пространства в случае бозонных операторов — это гильбертово пространство функций на некотором многообразии. В этом случае операторы рождения и уничтожения могут быть реализованы с помощью комбинаций операторов умножения и дифференциальных:

а ^ б "=" 1 2 ( Икс ^ + я п ^ ) "=" 1 2 ( Икс + г г Икс )

Аналогом в случае фермионов является построение гильбертова пространства как пространства функций на супермногообразии, а не над многообразием. Эта задача решается:

1) Нахождение представления с помощью операторов умножения и дифференцирования на этом многообразии канонической фермионной алгебры:

{ а ф , а ф † } "=" 1

2) Тогда для такого представления достаточно выбора нечетного комплексного одномерного многообразия:

а ф "=" ψ

а ф † "=" г г ψ

Где ψ представляет собой комплексную переменную Грассмана.

Функция на этом многообразии вида

ф ( ψ ) "=" е ψ ¯ ψ

называется когерентным состоянием. Правильно думать об экспоненте как о ряде Тейлора. Ряд Тейлора усекается после первого члена, потому что ψ нильпотентна, поскольку является координатой супермногообразия. Это легко увидеть, используя правила алгебры Грассмана.

а ф ф ( ψ ) "=" ψ ф ( ψ )
.

а ф † ф ( ψ ) "=" ψ ¯ ф ( ψ )

Это всего лишь уравнения, данные в вопросе, но их следует интерпретировать как действие канонических операторов на когерентное состояние.

Следует отметить, что это гильбертово состояние когерентного состояния есть просто обычное гильбертово пространство, выраженное с помощью функций над супермногообразием и имеющее скалярное произведение:

( г , ф ) "=" ∫ г ( ψ ) ¯ ф ( ψ ) е − ψ ¯ ψ г ψ ¯ г ψ

Это гильбертово пространство представляет собой просто двумерное комплексное векторное пространство, порожденное векторами 1 , ψ . (Функции не зависят от ψ ¯ , иначе были бы нулевые векторы и пространство не было бы гильбертовым).

Редактировать

@ user10001, как вы заметили а ф † имеет корректно определенное действие в гильбертовом пространстве, натянутом на { 1 , ψ } как дифференциальный оператор г г ψ .

На ваш второй вопрос я использовал несколько искаженную нотацию для когерентного состояния, чтобы получить те же формулы, что и в вопросе, на самом деле это следует писать так: е ζ † ψ , где ζ , является другим числом Грассмана, не ψ комплексно-сопряженное. Вы можете думать о ζ как коэффициент числа Грассмана. Единственный способ получить ψ † находится в комплексном сопряжении в интеграле скалярного произведения.

Тем не менее, в нотации ответа (злоупотребления) все в порядке в действии а ф † о когерентном состоянии:

а ф † е ψ † ψ "=" г г ψ ( 1 + ψ † ψ ) "=" ψ † . 1

Это означает, что ответ пропорционален вектору 1 в гильбертовом пространстве с коэффициентом числа Грассмана ψ † .

Я не уверен, что понимаю это объяснение, но, вероятно, это просто мое собственное невежество, поскольку я ничего не знаю о супермногообразиях. Можете ли вы порекомендовать какие-либо источники для чтения об этом материале?
«Функции не зависят от ψ ¯ « Но поскольку а ф † 1 "=" ψ ¯ ; так ψ ¯ должно линейно зависеть от 1 и ψ . Однако я не вижу способа написать ψ ¯ с точки зрения 1 и ψ с помощью комплексных коэффициентов.
извините, я использовал упомянутые вами правила для непостоянных функций, которые не применяются к функции 1 :) Однако теперь та же проблема остается, если мы используем функцию е Икс п ( ψ ψ ¯ ) вместо 1.
@Echows Рекомендую начать со следующего обзора arxiv.org/abs/math-ph/0202026v1 от Cartier, DeWitt-Morette, Ihl и Sämann.
@user10001 user10001 Я отвечаю на ваши вопросы в отдельном редактировании.
Спасибо за ответ Дэвид. Из вашего редактирования я понимаю, что одно из следующего должно быть верным: либо i) когерентные состояния не являются элементами гильбертова пространства. ИЛИ ii) Гильбертово пространство не над комплексными числами, но также разрешено умножение на числа Грассмана (в этом случае это не гильбертово пространство). Я думаю, что первое утверждение верно. Это правильно?
@ user10001 Обе интерпретации можно сделать строгими. В обоих случаях нужно помнить, что квантовое состояние отождествляется не с вектором в гильбертовом пространстве, а скорее с лучом (умножение на комплексную константу не меняет состояния). Вторая интерпретация лежит в основе теории «супергильбертовых» пространств, которой занимались Б. ДеВитт и Роджерс.
продолжение Согласно первой интерпретации, когерентное состояние можно рассматривать как функцию на М × М где М является супермногообразием (координаты которого равны ψ и ζ соответственно), который зависит только от ψ и ζ † . Затем можно расширить внутренний продукт на этот тип функций. Тогда по аналогии с бозонным случаем можно выделить квантовые состояния «суперлучи», отличающиеся кратным числом Грассмана.
Доказательство того, что собственные значения фермионных операторов рождения/уничтожения являются числами Грассмана.
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v