Доказательство тождества для специальной формы тензора Римана

У меня проблема с домашним заданием. Учитывая, что тензор Римана

р а б с г "=" г а с С б г + г б г С а с − г а г С б с − г б с С а г
я должен показать это
Для   Н > 3   ,   С а б ; с "=" С а с ; б

Я использовал вторую личность Бьянки р а б [ с г ; е ] "=" 0 получить

г а с ( С б г ; е − С б е ; г ) + г а г ( С б е ; с − С б с ; е ) + г а е ( С б с ; г − С б г ; с ) + г б с ( С а е ; г − С а г ; е ) + г б г ( С а с ; е − С а е ; с ) + г б е ( С а г ; с − С а с ; г ) "=" 0

Теперь я заключаю контракт с обеими сторонами г а с получить

( Н − 3 ) ( С б г ; е − С б е ; г ) + г а с г б г ( С а с ; е − С а е ; с ) + г а с г б е ( С а г ; с − С а с ; г ) "=" 0

Только если бы я знал, как поступить со вторым и третьим слагаемыми, эта проблема была бы решена. Потому что для Н "=" 2 , есть еще одно тождество, данное в предыдущей части, которое тривиально делает LHS равным 0.

Мне нужна помощь, чтобы доказать, что три члена должны быть равны нулю по отдельности, а затем Н ≠ 3 , что и завершит доказательство.

Ответы (2)

Контракт с г б г . Это докажет г а с ( С а г ; с − С а с ; г ) "=" 0 , поэтому вы можете установить второе и третье слагаемые равными нулю.

Вы поняли это сейчас, или вы знаете, если этот вопрос из книги? Я хотел бы иметь эту книгу для практики, если таковая существует.
Я понял это, прочитав ваш вопрос, извините.

Имеют три индекса комиссий б , г , е контракт с г б г оставим нам только один индекс, который легче обрабатывать

( Н − 3 ) г б г ( С б г ; е − С б е ; г ) + г а с г б г г б г ( С а с ; е − С а е ; с ) + г а с г б е г б г ( С а г ; с − С а с ; г ) "=" 0 , ⟶ ( Н − 3 ) г б г ( С б г ; е − С б е ; г ) + г а с Н ( С а с ; е − С а е ; с ) + г а с дельта е г ( С а г ; с − С а с ; г ) "=" 0 , ( Н − 3 ) г б г ( С б г ; е − С б е ; г ) + г а с Н ( С а с ; е − С а е ; с ) + г а с ( С а е ; с − С а с ; е ) "=" 0 , ( ( Н − 3 ) + Н − 1 ) г б г ( С б г ; е − С б е ; г ) "=" 0 , ( 2 Н − 4 ) г б г ( С б г ; е − С б е ; г ) "=" 0 , ( Н − 2 ) г б г ( С б г ; е − С б е ; г ) "=" 0 .
В общем г б г ≠ 0 , Таким образом, для Н > 3 у нас есть С б г ; е "=" С б е ; г .

Кажется, вы скопировали мой ответ, но неправильно поняли последний шаг. Вы не можете просто разделить г б г потому что он что-то сжимает. Но затем вы можете вернуться к предыдущему уравнению и избавиться от второго и третьего членов.
Да, извините, но мне сейчас лень. Я отдал тебе половину кредитов, но теперь мне лень. Еще раз извините.
Доказательство тождества для специальной формы тензора Римана
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v