Как доказать, что нулевой тензор Вейля не предсказывает отклонения света?

В Солнечной системе существует лишь слабое гравитационное поле вне Солнца. Таким образом, для практических целей вы можете расширить метрику до первого порядка в$\epsilon$(и я думаю, почему этот параметр в определении),

$$g_{\mu\nu} = e^{-\Phi }\eta_{\mu\nu} = e^{-\epsilon\phi} \eta_{\mu\nu} \approx -(1-\epsilon\phi) dt^2 + (1-\epsilon\phi ) (dx^2 +dy^2 + dz^2 )$$ Заметим, что пространственная часть метрики возмущения имеет противоположную сторону линеаризованной теории Эйнштейна. Именно поэтому у вас нет легкого изгиба. Это хорошее упражнение, так как вывод полностью параллелен обычной линеаризованной теории, см., например, MTW, упражнение 18.6.

Однако результат верен даже за пределами линейного порядка. Вы знаете, что уравнение движения фотона — это геодезическое уравнение,

$$\nabla_p p = 0$$

где импульс$p$— касательный вектор геодезической кривой, а для фотона — нулевой вектор. В компонентах,

$$\frac{d}{d\tau} p^{\mu} - p^{\mu} p^\nu \partial_{\nu} \Phi = 0$$ где я использовал явную форму соединения и $p^{\mu}p_{\mu} =0$(пожалуйста, подтвердите это).

Это уравнение можно проинтегрировать,

$$\frac{d}{d\tau} p^{\mu} - p^\mu \frac{d}{d\tau} \Phi = e^{\Phi} \frac{d}{d\tau}(e^{-\Phi} p^\mu) = 0$$ так $e^{-\Phi}p^\mu$является постоянной только геодезической.

Следуя стандартной процедуре, мы сравниваем 4-импульс при выпуске и получении; в обоих случаях фотон находится очень далеко от звезды в центре, и, таким образом,$\Phi \sim 0$. Поэтому мы можем заключить, что импульс 4 не меняется в асимптотическом плоском пространстве, т.е. нет искривления света.

Вы можете прочитать упражнение MTW 7.1. Это задача, начинающаяся с действия скалярного (теория Нордсторма) гравитационного поля, а также в тексте есть полезные подсказки и комментарии.

Добавлено : сохраняющиеся величины обусловлены четырьмя конформными векторами Киллинга :$\partial_{\mu}$.

$$\mathcal{L}_{\partial_\mu} g = -\partial_{\mu}\Phi g$$ Позволять $\xi= \partial_\mu$, затем $g(p,\xi)= p^\nu \xi_\nu$является сохраняющейся величиной. Это потому что $$\nabla_p g(p,\xi) =(\nabla_p g)( p, \xi ) +g( \nabla_p p, \xi) + g(p, \nabla_p \xi ) = g(p, \nabla_p \xi )\\= g(p, [p,\xi] ) + g(p, \nabla_{\xi} p ) = - g( p, \mathcal{L}_{\xi} p ) + \frac{1}{2} \nabla_{\xi}g(p,p ) \\= -\frac{1}{2} \mathcal{L}_{\xi} g(p,p) + \frac{1}{2} (\mathcal{L}_{\xi} g)( p, p ) = -\partial_\mu \Phi g( p, p ) = 0$$

Быстрая проверка показывает, что$p^\mu \xi_\mu = p^\mu e^{-\Phi }$это только то, что мы получили.