Докажите, что E2−B2E2−B2\mathbf{E}^2-\mathbf{B}^2 и E⋅BE⋅B\mathbf{E}\cdot\mathbf{B} — единственные две независимые лоренц-инвариантные величины [дубликаты ]

Я не очень хорошо знаком с группой Лоренца, но такого рода вопросы определенно относятся к теории групп. Из википедии я делаю вывод, что тензор электромагнитного поля трансформируется под$(1,0)\oplus(0,1)$представление. Общая идея состоит в том, чтобы найти, сколько инвариантов (т. е.$(0,0)$) может быть сформирован из двух значений, которые преобразуются при$(1,0)\oplus(0,1)$. Итак, нам нужно найти результат прямого произведения$\left[ (1,0)\oplus(0,1) \right] \otimes \left[ (1,0)\oplus(0,1) \right]$.

Основываясь на приведенном здесь объяснении , я делаю вывод, что он равен

Количество скаляров ($(0,0)$представление) в произведении равно 2. Таким образом, мы можем построить только два скаляра из произведения двух тензоров электромагнитного поля.

$\vec{E}$и$\vec{B}$являются векторами, и геометрически есть только 3 скалярные квадратичные комбинации этих полей -$E^2$,$B^2$и$(\vec{E}, \vec{B})$. Последний сам по себе является лоренц-инвариантным, а чтобы получить инвариантный из остальных, нужно вычесть один из другого. Есть также кубические комбинации$\epsilon_{ijk}E^i E^j B^k$,$\epsilon_{ijk}E^i B^j B^k$и т. д., но все они обращаются в нуль из-за антисимметрии$\epsilon$-тензор.