Как магнетизм является результатом специальной теории относительности?

Магнетизм — это не только релятивистский эффект.

Ключевой момент, который люди пытаются сделать, говоря об этом, заключается в том, что электрическое поле$E$и магнитное поле$B$не являются релятивистски инвариантными величинами: разные наблюдатели будут измерять их разные значения. Самый простой пример — единичный электрический заряд; в его системе покоя нет магнитного поля, но он генерирует магнитное поле в системе отсчета, в которой он движется.

В однозарядном случае имеется рамка, в которой отсутствует магнитное поле. Однако в более сложной системе, такой как два заряда, движущихся навстречу друг другу, или постоянный магнит, нет преобразования системы отсчета, которое могло бы избавиться от магнитного поля.

Я отвечу на ваш вопрос, дав вам конкретный расчет магнитного поля, видимого наблюдателем, когда точечный заряд движется со скоростью$v$, и для простоты я сделаю это прямым путем.

Прежде всего, электромагнитное поле задается рангом$2$тензор, ЭМ-тензор$F^{\mu\nu}$. Будучи тензором, при преобразовании Лоренца преобразуется как

$$F^{\prime\mu\nu} = \frac{\partial x^{\prime\mu}}{\partial x^\alpha}\frac{\partial x^{\prime\nu}}{\partial x^\beta} F^{\alpha\beta}$$

Взяв простейшее преобразование Лоренца, буст вдоль$x$-ось, можно легко увидеть, что компоненты электрического и магнитного поля в системе отсчета$K^\prime$смешать таким образом

$$E_x^\prime = E_x \qquad B_x^\prime = B_x\\ E_y^\prime = \gamma(E_y-\beta B_z) \qquad B_y^\prime = \gamma(B_y+\beta E_z)\\ E_z^\prime = \gamma(E_z+\beta B_y) \qquad B_z^\prime = \gamma(B_z-\beta E_y)$$

Отсюда мы находим поучительный факт, что в системе отсчета, в которой движется заряд, вы будете измерять не только электрическое поле, но и магнитное поле. В самом деле, предположим, что заряд$q$, по центру кадра$K^\prime$, движется по$x$-ось со скоростью$v$, а расстояние наибольшего сближения с наблюдателем равно$b$. Кроме того, предположим, что два кадра совпадают во времени.$t=t^\prime=0$. Назовите точку, в которой наблюдатель измеряет поля в своей системе отсчета.$P$который имеет координаты в движущейся системе отсчета

$$P^\prime = (-vt^\prime, b, 0)$$ и это на расстоянии $$r^\prime = \sqrt{b^2+(vt^\prime)^2}$$ Электрическое поле в системе заряда явно

$$E_x^\prime = -\frac{qvt^\prime}{r^{\prime 3}}\qquad E_y^\prime = \frac{qb}{r^{\prime 3}} \qquad E_z^\prime = 0$$

магнитное поле везде равно нулю. Используя преобразование Лоренца, мы можем записать эти поля в координатах кадра$K$

$$E_x^\prime = -\frac{q\gamma vt}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}} \\ E_y^\prime = \frac{qb}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}$$

Затем, используя преобразование поля, найденное до того, как мы получим результат поиска

$$E_x = E_x^\prime = -\frac{q\gamma vt}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}\\ E_y = \gamma E_y^\prime = \frac{\gamma qb}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}\\ \color{red}{B_z = \gamma\beta E_y^\prime = \beta E_y} = \frac{\beta\gamma qb}{(b^2+\gamma^2 v^2 t^2)^{3/2}}$$

И вот вы идете

Человек в кадре$K$покоящийся относительно равномерно движущегося заряда, каркас которого$K^\prime$, будет измерять магнитное поле, а также электрическое поле.

Разумеется, более подробное рассмотрение этого вопроса можно найти в книге Джексона!

Если вы посмотрите на классическое соотношение силы Лоренца, вы заметите, что сила Лоренца зависит от скорости. Одним из простых примеров является пучок протонов или$\alpha$пучок частиц. В стационарной раме (или лабораторной раме) луч движется очень быстро, поэтому существует огромная магнитная сила, которая удерживает луч вместе. Но в рамках$\alpha$над частицами должны преобладать электрические силы, и они должны разлететься. Это был парадокс, который привел Эйнштейна к теории относительности.

Пусть есть преобразование Лоренца$\textbf{x}\rightarrow\textbf{x'}$. Где$\textbf{x}$координаты пространства-времени лабораторной системы отсчета и$\textbf{x'}$— пространственно-временные координаты системы отсчета, движущейся вместе с пучком частиц. Преобразование может быть выражено как

$$x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\nu} x^{\nu}$$ Электромагнитный четырехпотенциал также преобразуется по преобразованию Лоренца. $$A'^{\mu}=\Lambda^{\mu}_{\nu} A^{\nu}$$ Отсюда можно определить электрические и магнитные поля. Когда это преобразование рассматривается, результирующие силы будут такими же, потому что теперь поля являются лоренц-инвариантными.

Надеюсь это поможет.