Доплеровский сдвиг для равномерно ускоряющегося наблюдателя

Используйте стандартное соотношение между ускорением в двух системах отсчета.

то есть правильное ускорение$a$дан кем-то

$$a = \gamma^3 \frac{dv}{dt}, \ \ \ \ \ \ \ \ \gamma = \frac{dt}{d\tau}$$ $$\frac{dv}{d\tau} = \frac{dv}{dt} \frac{dt}{d\tau} = \gamma^{-2} a = (1-v^2)a$$

Это может быть интегрировано, чтобы дать$v$и поэтому$\gamma$как функция$\tau$.

$$\int \frac{dv}{1-v^2} = \int a\ d\tau$$ Позволять$v = \tanh(x)$и использовать личность$1 - \tanh^2(x) = 1/\cosh^2(x)$ $$\frac{dv}{dx} = \frac{\cosh^2(x) - \sinh^2(x)}{\cosh^2(x)} = \frac{1}{\cosh^2(x)}$$ и поэтому интеграл становится $$\int dx = \int a\ d\tau$$ $$\tanh^{-1} (v) = a\tau + A,$$ где$A$– постоянная, определяемая начальной скоростью.

Позволять$v=v_0$когда$\tau=0,$следовательно:

$$v = \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]$$

Доплеровский сдвиг можно записать как:

$$\omega = \omega_0 (1-v)\gamma$$

NB: Это выражение взято отсюда , когда источник находится в состоянии покоя, но я думаю, что оно строго справедливо только тогда, когда скорость наблюдателя существенно не меняется между волновыми фронтами. Для оптического света это требует, чтобы (выражая$a$в единицах СИ на мгновение)$a \ll 10^{24}$РС$^{-2}$- что, вероятно, нормально для космического корабля!

$$\omega = \omega_0\left[1 - \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]\left[1 - \tanh^2[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]^{-1/2}$$ $$\omega = \omega_0 \left[1 - \tanh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]\right]\cosh[a\tau + \tanh^{-1}(v_0)]$$ .

Это общее выражение. Для конкретного случая, рассматриваемого ФП, у нас есть$v_0=0$. В этом случае:

$$\omega = \omega_0[1 - \tanh(a\tau)]\cosh(a\tau)$$ $$\omega = \omega_0\left[\frac{\cosh(a\tau) - \sinh(a\tau)}{\cosh(a\tau)}\right] \cosh(a\tau)$$ Выражение гиперболических функций через экспоненты: $$\omega = \frac{\omega_0}{2}[\exp(a\tau) + \exp(-a\tau) - \exp(a\tau) + \exp(-a\tau)] = \omega_0 \exp(-a\tau)$$ как требуется.

Аналогичное рассмотрение приводит Cochran 1989 (раздел II) и приводит к тому же результату.

Более полезный результат получается, если заметить, что преобразование координат вида

$$\tau^{\prime} = \tau + \frac{\tanh^{-1}(v_0)}{a}$$ может облегчить жизнь для общих случаев, так как это тоже приводит к результату $$\omega = \omega_0 \exp(-a\tau^{\prime})$$

Это облегчает жизнь — например, мы можем показать, что мы восстанавливаем стандартный доплеровский сдвиг, когда$a=0$, с$a\tau^{\prime} = \tanh^{-1}(v_0)$и так

$$\omega = \omega_0 \exp[-\tanh^{-1}(v_0)] = \omega_0 \exp\left[-\frac{1}{2}\ln \left(\frac{1+v_0}{1-v_0}\right)\right]$$ $$\omega = \omega_0\left( \frac{1+v_0}{1-v_0}\right)^{-1/2} = \omega_0(1-v_0)[(1+v_0)(1-v_0)]^{-1/2} = \omega_0(1-v_0)\gamma\ .$$