Космический корабль начинает падать под действием силы тяжести с ускорением по измерениям наблюдателя Барри, покоящегося на Земле. В тот момент, когда корабль начинает падать, астронавт Гарри на базе ракетного корабля посылает световой сигнал частоты вертикально вверх к другому космонавту Салли на расстоянии выше.
Барри утверждает, что световой сигнал, достигающий Салли, должен быть доплеровским смещением в сторону синего. Это доплеровское смещение дан кем-то
где скорость ракетного корабля через время
Что я хочу знать, так это то, как это уравнение доплеровского сдвига возникло математически? В тексте говорилось, что они использовали формулу для низкоскоростной аппроксимации релятивистского доплеровского сдвига, которая
Но я просто не понимаю, как это произошло. Может я что-то упускаю...
Я очень надеюсь, что мое предположение верно, что вам просто нужна помощь в понимании того, откуда взялось уравнение, с которым вы столкнулись в своей книге, а не это домашнее задание, которое вы должны были решить. Я полностью поддерживаю здешнюю политику не решать за людей домашние задания.
От начальной точки
разделить и числитель и знаменатель на , давая
Как правило, как можно проверить с помощью разложения Тейлора, если , затем
отмечая, что , применим это приближение к выражению для давать
что, сохраняя только члены под квадратным корнем, которые имеют первый порядок в , дает
Другое общее правило, которое можно проверить с помощью разложения Тейлора, состоит в том, что если , затем
Применение этого к приведенному выше уравнению дает
Умножив обе части этого уравнения на и снова сохраняя только члены первого порядка в дает
Немного простой алгебры преобразует это уравнение в
который говорит то же самое, за исключением использования других символов, как