Невозможно согласовать мое понимание сокращения длины с преобразованием Лоренца

В настоящее время я прохожу курс бакалавриата по специальной теории относительности. Я думал, что понял материал, но просмотр перед тестом еще больше запутал меня, чем когда я начал. В частности, мы столкнулись со следующей проблемой:

Космонавт гонится за инопланетным космическим кораблем. Как видно со стороны неподвижного наблюдателя на Земле, инопланетяне движутся с постоянной скоростью 0,4 с и космонавт движется с постоянной скоростью 0,6 с . Первоначально они находятся на 1   л я г час т у е а р отдельно. В системе отсчета космонавта, сколько времени потребуется, чтобы поймать инопланетян?

Предисловие

Правильный ответ: 4 года.

Они пришли к этому ответу, подсчитав, сколько времени это займет в системе отсчета Земли: 1   л я г час т у е а р 0,6 с − 0,4 с "=" 5   у е а р с . Тогда профессор заметил, что время космонавтов течет медленнее, потому что оно движется относительно Земли на 0,6 с , поэтому продолжительность погони в кадре космонавта равна 1 γ * 5 * 0,8 * 5 "=" 4   у е а р с . Это решение имело смысл для меня ПОСЛЕ его прочтения.

Я смог решить ее другим способом. Я параметризовал мировую линию космонавтов в системе отсчета Земли как

р → С "=" ( 0,6 λ , λ )
В земной системе координат мировая линия инопланетянина
р → А "=" ( 0,4 λ + 1 , λ ) .
ПРИМЕЧАНИЕ. Оба они написаны в терминах ( Икс , с т ) . Если перейти в систему координат космонавта , то согласно Преобразованию Лоренца новая форма мировых линий будет ( Икс ′ , с т ′ ) "=" ( [ γ ( Икс − ты с с т ) ] ,   [ γ ( с т − ты с Икс ] ) ) . В этом загрунтованном кадре
р → С ′ "=" ( 0 , 8 λ )
р → А ′ "=" ( 1,25 − 0,25 λ , 0,95 λ − 1,75 )
Чтобы найти время столкновения, я нашел, где Икс С ′ "=" Икс А ′ . Пропустив алгебру, это происходит в координатах
λ "=" 5 : ( Икс ′ , с т ′ ) "=" ( 0 , 4 )
-- как и ожидалось.

Мой вопрос

Сначала я неправильно понял эту проблему, потому что пытался найти решение, используя сокращение длины в кадре космонавта. Я рассудил, что если космонавт движется относительно Земли, то его измерение расстояний в направлении x будет сжато и короче в раз. 1 / γ . Когда мы обсуждали парадокс близнецов в классе, мы говорили о том, что Земной близнец «увидит», что часы Ракетного близнеца идут медленнее, что объясняет, почему Ракетный близнец считает, что путешествие к звезде короче. Затем мы говорили о том, как Rocket-Twin увидит сокращение длины своего пути, потому что «1 м» в их системе отсчета короче метра в системе отсчета Земли, а расстояние изначально измерялось в системе отсчета Земли. См. этот вопрос для другого примера этой логики.

Это рассуждение не удалось. Если расстояние между человеком и инопланетянами, измеренное на Земле, сократить в системе отсчета человека на 1 / γ ∣ β "=" 0,6 , то инопланетян он увидит только 0,8   л я г час т у е а р с изначально подальше. Кроме того, мы смотрим на наклон р А ′ на загрунтованном кадре мы видим, что к космонавту приближаются инопланетяне со скоростью 0,263 с . Итак, разве он не должен видеть, что погоня берет только 0,8 0,263 "=" 3.04   у е а р с ?

Даже игнорируя это неправильное решение. Если скорость инопланетянина 0,263 с к нему, то разве он не должен видеть, как они путешествуют 4 * 0,263 с "=" 1,052   л у в его кадре?

1.) Почему я не могу использовать сокращение длины и относительную скорость для решения этой задачи?

2.) Почему я вычисляю перемещение инопланетянина на 1,052 световых года в системе отсчета космонавта? БОЛЬШЕ, чем в кадре Земли?

Ответы (1)

Я работаю с c=1 и векторами в форме ( т , Икс )

Сокращение длины на самом деле является утверждением о параллельных линиях.

Вы берете мировые линии ( т , Икс 0 ) и ( т , Икс 0 + ℓ ) , применить преобразование Лоренца и перепараметрировать, чтобы получить мировые линии ( т ′ , Икс 0 ′ + β т ′ ) и ( т ′ , Икс 0 ′ + ℓ / γ + β т ′ ) . Расстояние между двумя линиями изменится на ℓ / γ , и это ваше сокращение длины.

Если вы не можете сформулировать интересующее вас сокращение длины в терминах параллельных линий, то его не должно существовать, иначе вы можете добиться увеличения расстояний! Это может звучать как противоречие на первый взгляд (если материя сжимается, а другие вещи расширяются, не столкнутся ли они друг с другом в какой-то момент?), но преобразование Лоренца обратимо — противоречия быть не может.

Факты дела таковы:

Координаты Земли ( т , Икс ) :

  • Событие, когда корабль уходит: ( 0 , 0 ) .
  • Событие, когда пришельцы начинают бегать: ( 0 , 1 )
  • Событие, где корабль ловит пришельцев: ( 5 , 3 )

Координаты корабля ( т ′ , Икс ′ ) :

  • Событие, когда корабль уходит: ( 0 , 0 ) .
  • Событие, когда пришельцы начинают бегать: ( − 0,75 , 1,25 ) (одновременность нарушена)
  • Событие, где корабль ловит пришельцев: ( 4 , 0 )
  • Место, где находились инопланетяне т ′ "=" 0 : ( 0. , 1.0526 )

Эти факты следуют непосредственно из преобразования Лоренца. Общий ответ для положения инопланетян в т ′ "=" 0 , для космического корабля, движущегося со скоростью β , инопланетянин движется со скоростью α , изначально расстояние ℓ с Земли (все утверждения при t=0 в земной системе координат), 1 γ ℓ 1 − α β , с γ "=" 1 / 1 − β 2 . ЭТО количество, которое вы можете разделить на скорость инопланетян в кадре космического корабля, чтобы получить время, затрачиваемое космическим кораблем.

Это очень похоже на сокращение длины и добавление скорости, так что, возможно, есть хорошее решение, использующее их.

[править] нашел! Действуйте следующим образом: представьте себе линию, параллельную мировой линии инопланетянина и проходящую через начало координат в системе отсчета Земли. Перейдите к кадру, в котором обе мировые линии вертикальны: горизонтальное расстояние между линиями увеличивается в 1 / 1 − α 2 и космический корабль движется со скоростью β ′ "=" β − α 1 − β α . Теперь перейдите в кадр, где космический корабль находится в состоянии покоя: новое расстояние уменьшается в 1 − β ′ 2 . Итак, ответ:

ℓ ″ "=" ℓ 1 − β ′ 2 / 1 − α 2

Закинуть это в математику (мне лень на самом деле расширять β ′ 2 !) показывает, что действительно:

ℓ 0 ′ "=" ℓ 1 − β ′ 2 / 1 − α 2 "=" ℓ 1 − β 2 1 − α β

Разделив на абсолютное значение скорости β − α 1 − β α дает:

т ′ "=" ℓ 1 − β 2 | α − β |

Подключение ℓ "=" 1 , β "=" 0,6 , α "=" 0,4 дает т ′ "=" 4.0 . Так ℓ 0 ′ / в ′ действительно дает правильный результат.

Спасибо! Я рад видеть, что существует правильный аргумент, основанный на сокращении длины. Я полагаю, что еще не до конца понимаю относительность одновременности. Я понимаю мысленный эксперимент с молнией, ударяющей по двум сторонам движущегося поезда, потому что он связан с наблюдением за вспышками света. Однако при применении в другом месте я не могу понять этого. Так вот, я так и не до конца понял, почему оригинал л 0 не может быть сжат, поскольку я понял, что сжатие является следствием неодновременного измерения. Если замедление времени работает, то почему не расстояние?
@spanishinquisitor Сокращение длины является следствием специальной теории относительности - преобразования Лоренца. То же самое с замедлением времени! Вы можете применить формулу сокращения длины к расстояниям — например, к расстоянию между двумя звездами, находящимися в покое относительно друг друга, — потому что звезды очерчивают параллельные линии в пространстве-времени. Сокращение длины говорит вам, как меняется разделение этих параллельных линий. Это, конечно, не эффект неодновременного измерения, но это специальная теория относительности, так что да, «одновременность» не имеет реального физического смысла.
Невозможно согласовать мое понимание сокращения длины с преобразованием Лоренца
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v