Достаточно ли этого геометрического аргумента, чтобы показать, что специальная теория относительности предполагает плоское пространство-время?

Question

Достаточно ли этого геометрического аргумента, чтобы показать, что специальная теория относительности предполагает плоское пространство-время?

Жоао Витор Г. Лима

Я готовлюсь провести урок по специальной теории относительности через несколько недель. Чтобы убедиться, что они поймут, что пространство-время должно быть плоским, чтобы специальная теория относительности работала, я выдвинул следующий аргумент, основанный на известном выводе о замедлении времени, где движущаяся система отсчета ( $S'$ ) видит, что свет проходит более длинный путь из-за движения между системами отсчета. В основном, это производное.

Чтобы создать некоторый контекст и определить нотацию, вот изображение, которое я использую:

Итак, есть система отсчета $S$ , стационарный относительно источника света. Другой кадр $S'$ удаляется от источника со скоростью $v$ . Свет излучается и занимает время $t$ в рамке $S$ достичь «потолка». Если мы войдем в систему отсчета $S'$ мы видим, как свет идет по другому пути из-за движения рамки $S$ (это приводит к тому, что кадр $S'$ измерять время $t'$ пока свет не достигнет «потолка»). Знаменитая картинка для этого эффекта:

Вот тут и начинается мой аргумент:

Когда мы рисуем движение света в обоих кадрах, мы можем создать прямоугольный треугольник, как показано на рисунке. Но чтобы вывести формулу замедления времени, нам в конечном итоге придется предположить , что теорема Пифагора верна! Поскольку преобразования Лоренца для специальной теории относительности зависят от этого шага (как и вся специальная теория относительности), кажется, что вся специальная теория относительности зависит от предположения , что теорема Пифагора будет работать.

Но теорема Пифагора верна только в том случае, если геометрия евклидова! Следовательно, специальная теория относительности будет работать только в том случае, если пространство имеет евклидову геометрию.

Отсюда я бы представил идею о том, что для обобщения теории относительности на любую геометрию нам нужно использовать общую теорию относительности (ОТО). Но сама ОТО говорит, что для достаточно небольших областей пространство-время всегда может быть приблизительно плоским, а это означает, что специальная теория относительности действительно придерживается лабораторных экспериментов, взаимодействий частиц и т. д. на Земле, поскольку пространство для этих случаев является приблизительно евклидовым.

И это аргумент, который я хочу представить. Боюсь, однако, что этот аргумент может быть по какой-то причине неправильным (возможно, есть какая-то ошибка в отношениях между плоским пространством-временем и евклидовым пространством, но я не уверен). У меня есть приемлемый опыт работы со специальной теорией относительности, поэтому приветствуются сложные объяснения и другие (правильные) аргументы в пользу этого. Моя проблема в том, что я не так хорошо знаком с математикой ОТО, и это может стать большой проблемой для любых аргументов, которые я здесь приведу.

Поэтому я спрашиваю: есть ли ошибка в этом рассуждении? Или держит? Достаточно ли этого? Если нет, поправьте меня и/или дайте ссылку на действительно хороший аргумент, который я мог бы привести. Мои ученики тоже никогда в жизни не видели тензора, поэтому по возможности избегайте их. Но в любом случае, любая помощь приветствуется!

алебарда

Учтите, что уравнение, которое вы здесь представили, может сбить с толку ваших учеников, поскольку вы смешиваете t и t' из разных систем отсчета в правой части. На рисунке также может показаться, что свет исходит из двух разных точек пространства-времени.

пользователь4552

Очень строгое и строго аргументированное исследование, которое хорошо справляется с такими вещами, — Бертель Лоран, Введение в пространство-время: первый курс относительности. Другой подход, который может представлять интерес, описан в моей книге по СТО, lightandmatter.com/sr (разделы 2.2 и 2.5). Относительно легко взять типичное изложение СТО и выбрать одно или несколько мест, где плоскостность неявно предполагалась, но никогда явно не использовалась. Труднее построить все строительные леса, не заметив, что вы сделали такие неявные предположения.

Ответы (1)

Достаточно ли этого геометрического аргумента, чтобы показать, что специальная теория относительности предполагает плоское пространство-время?

Учтите, что уравнение, которое вы здесь представили, может сбить с толку ваших учеников, поскольку вы смешиваете t и t' из разных систем отсчета в правой части. На рисунке также может показаться, что свет исходит из двух разных точек пространства-времени.
Очень строгое и строго аргументированное исследование, которое хорошо справляется с такими вещами, — Бертель Лоран, Введение в пространство-время: первый курс относительности. Другой подход, который может представлять интерес, описан в моей книге по СТО, lightandmatter.com/sr (разделы 2.2 и 2.5). Относительно легко взять типичное изложение СТО и выбрать одно или несколько мест, где плоскостность неявно предполагалась, но никогда явно не использовалась. Труднее построить все строительные леса, не заметив, что вы сделали такие неявные предположения.

Кнчжоу · Answer 1

Нет, плоское пространство не гарантирует плоского пространства-времени. Например, рассмотрим пространство-время со слабым гравитационным полем, соответствующим гравитационному потенциалу $\phi$ . Его можно описать метрикой

г_{00} "=" - (1 + 2 ф), г_{я Дж} "=" {дельта}_{я Дж}

$g_{00} = - (1 + 2 \phi), \quad g_{ij} = \delta_{ij}$ который имеет совершенно плоское пространство, но не плоское пространство-время.

Кроме того, даже если бы пространство не было плоским, теорема Пифегора все равно была бы применима к световым часам, потому что вы можете сделать световые часы сколь угодно малыми и, следовательно, эффектами искривления пространства можно пренебречь. И мы всегда неявно предполагаем, что световые часы маленькие. Например, на практике самая большая ошибка возникает из-за разного гравитационного замедления времени между верхом и низом из-за искривления пространства-времени , но мы всегда игнорируем это, потому что световые часы не должны быть высокими.

Так что в любом случае я не думаю, что этот аргумент показывает то, что вы хотите показать, хотя я полагаю, что вы можете использовать его как отправную точку для мотивации дальнейшего обсуждения.

А, это имеет смысл. У меня, однако, возникает соблазн спросить еще раз: подразумевает ли этот аргумент хотя бы локальную евклидову геометрию пространства (не пространства-времени)?
@JoãoVítorG.Lima Действительно, и пространство, и пространство-время всегда выглядят плоскими, если смотреть только локально (с небольшими световыми часами). Таким образом, с помощью такого устройства вы не можете заключить, действительно ли пространство или пространство-время плоские.

Достаточно ли этого геометрического аргумента, чтобы показать, что специальная теория относительности предполагает плоское пространство-время?

Жоао Витор Г. Лима

алебарда

пользователь4552

Ответы (1)

Кнчжоу

Жоао Витор Г. Лима

Кнчжоу

Как можно «ничего» исказить?

Как получить внешнее и/или внутреннее решение Шварцшильда, используя уравнение избыточного радиуса Фейнмана?

Почему плоская метрика подразумевает координаты?

Можно ли вывести метрику Шварцшильда из криволинейных координат в специальной теории относительности?

Подразумевает ли вакуумное решение уравнения Эйнштейна плоское пространство-время?

Значение скаляра Кречмана для плоских пространств?

Почему собственное время является мерой пространства?

Какой тензор описывает кривизну четырехмерного пространства-времени?

Почему псевдоевклидовой геометрии было недостаточно для общей теории относительности?

Предполагая фиксированную общую массу, будет ли геометрия пространства-времени вне сферического распределения массы зависеть от формы (распределения)?