Предполагая фиксированную общую массу, будет ли геометрия пространства-времени вне сферического распределения массы зависеть от формы (распределения)?

Благодаря теореме Биркгофа мы знаем, что поле вне сферически-симметричной изолированной массы всегда будет метрикой Шварцшильда. Другими словами, метрика будет выглядеть так вне поверхности объекта.

$$d s^2 = -\left(1 - \frac{2 M}{r}\right) d t^2 + \frac{1}{1 - 2M/r} dr^2 + r^2 d \Omega^2$$ где $d\Omega^2 = d\vartheta^2 + \sin^2\vartheta d \varphi^2$— элемент поверхности единичной сферы. Таким образом, в некотором смысле геометрия выглядит одинаково вне сферических объектов в теории относительности, меняется только положение поверхности и значение $M$.

Однако вас удивит, что даже при одинаковом числе частиц (скажем, протонов и электронов) фиксированной общей массы покоя$M_0$и втиснуть его в тело разного радиуса, полученное значение параметра$M$в метрике может несколько отличаться.

Например, когда мы говорим о теле, состоящем из идеальной жидкости, мы можем использовать анализ Толмана, Оппенгеймера и Волкова, чтобы увидеть, что гравитирующая масса может состоять из трех составляющих:

$$M = M_0 + \delta M_\mathrm{thermo} + \delta M_\mathrm{binding}$$ $\delta M_\mathrm{thermo}$соответствует внутренней термодинамической энергии газа, а $\delta M_\mathrm{binding}$– гравитационная энергия связи. Когда мы близки к ньютоновскому режиму, энергия связи может быть выражена просто как ньютоновская энергия связи (деленная на $c^2$) $$\delta M_\mathrm{binding} = -\int_0^\mathrm{surf.} \frac{G m_0(r) \rho_0 }{r c^2} 4 \pi r^2 dr$$ где $\rho_0$- плотность массы покоя, а $m_0(r) = \int_0^r \rho_0(r') 4\pi r'^2dr'$- масса покоя, содержащаяся в сфере радиуса $r$.