Можно ли вывести метрику Шварцшильда из криволинейных координат в специальной теории относительности?

Если мы рассмотрим простой сценарий, в котором на частицу действует постоянная сила, она пойдет по гиперболической траектории на диаграмме Минковского. Если предположить, что равноотстоящие друг от друга частицы начали ускоряться в один и тот же момент, то будет много гиперболических линий одного типа, но сдвинутых по горизонтали. Эти гиперболические линии будут действовать как наши линии для искривленной пространственной сетки, а отражение этих линий на линии у "=" Икс будет действовать как наша изогнутая временная сетка, потому что мы можем представить, что движущийся свет, проходящий через все частицы, соответствует такту. После того, как мы построили эту криволинейную систему координат, мы можем найти символы Кристоффеля, найдя скорость изменения касательных векторов пространства и времени по отношению к осям пространства и времени и выразив их как линейную комбинацию касательных осей пространства и времени. вектор. После того, как мы вычислили все символы Кристоффеля, можем ли мы использовать их для вычисления метрического тензора и получения компонентов время-время и радиус-радиус метрики Шварцшильда?

Предположим, что гиперболический путь частицы, начинающийся в точке x = 0, определяется выражением ( Икс + а ) 2 − а 2 где а "=" м ′ с 2 Ф

Вам дали хороший ответ на ваш вопрос, но я думаю, вам может понравиться статья Грега Игана о горизонте Риндлера : «Цель этой веб-страницы, таким образом, состоит в том, чтобы подробно проанализировать (используя только специальную теорию относительности) некоторые интересные мысли. эксперименты, которые может проводить постоянно ускоряющийся наблюдатель, который видит «горизонт Риндлера» в пространстве-времени, очень похожий на горизонт событий черной дыры. Это, конечно, не идеальная замена полному общерелятивистскому анализу [ ...]"

Ответы (1)

Можно ли вывести метрику Шварцшильда из криволинейных координат в специальной теории относительности?

Ответ - нет , метрика Шварцшильда имеет ненулевой тензор кривизны Римана, тогда как метрика Минковского имеет нулевой тензор Римана. Поскольку тензор кривизны Римана является тензором, если его компоненты равны нулю в одной системе координат, они равны нулю во всех системах координат.

Как это увидеть? Быстрый способ - из закона преобразования тензора:

р мю ′ ν ′ α ′ β ′ мю ′ "=" ∂ Икс мю ′ ∂ Икс мю ∂ Икс ν ∂ Икс ν ′ ∂ Икс α ∂ Икс α ′ ∂ Икс β ∂ Икс β ′ р мю ν α β мю .

Обратите внимание, что если р мю ν α β мю обращается в нуль в какой-то системе координат, то в силу сказанного выше компоненты будут равны нулю в любой другой. Таким образом, вы не можете определить систему координат в пространстве-времени Минковского, которая даст вам пространство-время Шварцшильда.

Я должен отметить, что можно возразить, что можно показать, что пригоризонтная область геометрии Шварцшильда изометрична части пространства-времени Минковского, известной как клин Риндлера. Это тесно связано с вашими рассуждениями. Но это приближение, в котором метрика расширяется до первого порядка вокруг горизонта. Это аргументируется, например, в книге Сасскинда « Введение в черные дыры, информацию и революцию в теории струн: голографическая Вселенная », которую я рекомендую вам прочитать.

Кроме того, я хотел бы отметить, что эти два пространства-времени даже топологически различны . Геометрия Шварцшильда имеет топологию

р × ( 0 , 2 М ) ∪ ( 2 М , + ∞ ) × С 2 ,
тогда как пространство Минковси имеет топологию р 4 .

Можно возразить , что можно расширить пространство-время Шварцшильда, чтобы добавить «точки в р "=" 2 М ", так как можно показать, что метрика в действительности там не является особой, и поскольку эти точки достигаются наблюдателями за конечное собственное время. Тем не менее, р "=" 0 является истинной геометрической особенностью , поскольку в ней расходится инвариант кривизны. Это делает невозможным добавление в этом пункте, делающее два решения действительно топологически различными. Для получения подробной информации по этому вопросу, особенно в отношении максимального расширения Крускзаля-Секереса, см. Ветку Phys.SE «Диффеоморфны ли пространства-времени Минковского и Шварцшильда?»

почему сингулярность r=0 важна для топологии? Вы можете построить гомеоморфизм пространства-времени Шваршильда к р 4 за счет использования координат Крускала-Секереса, и, таким образом, два пространства должны быть топологически равными. Сингулярность, не являющаяся точкой многообразия, на самом деле помогает в построении карты (я не уверен в результате, если бы сингулярность была включена, поскольку тогда вам нужно отобразить сингулярность на бесконечность, что делает карту не биективной)
Это важно, потому что сингулярность заставляет вас исключить целую линию. Для получения более подробной информации по этому вопросу, пожалуйста, посетите physics.stackexchange.com/questions/432035/… и отличный ответ @ValterMoretti.
Можно ли вывести метрику Шварцшильда из криволинейных координат в специальной теории относительности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v