Достаточно ли уравнений Максвелла, чтобы вывести закон Кулона?

Question

Достаточно ли уравнений Максвелла, чтобы вывести закон Кулона?

силы
Физика
закон кулона
электростатика
электромагнетизм
уравнения Максвелла

ахатрч

Достаточно ли 8 уравнений Максвелла, чтобы вывести формулу электромагнитного поля, создаваемого стационарным точечным зарядом, которая совпадает с законом Кулона?

Ф знак равно к_{е} \frac{д_{1} д_{2}}{р^{2}} ?

$F~=~k_e \frac{q_1q_2}{r^2}~?$ Если я не ошибаюсь, в силу того, что уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями, их общее решение должно содержать произвольные константы. Разве не нужны какие-то граничные условия и начальные условия, чтобы иметь единственное решение? Как можно без этих условий сказать, что стационарный точечный заряд не создает магнитного поля, а электрический скалярный потенциал равен

Φ (р) знак равно \frac{е}{р} .

$\Phi(\mathbf{r})=\frac{e}{r}.$

Если условия нужны, то какие они для описанной выше ситуации (поле стационарного точечного заряда)?

Qмеханик

По существу противоположный вопрос (v3) см. в этом сообщении Phys.SE.

ахатрч

Да, я уже читал этот пост, но мой вопрос совсем в другом.

Дэниел Блей

Не было бы тривиальным применить теорему о расходимости к закону Гаусса, чтобы получить его в интегральной форме. Отсюда кажется достаточно простым использовать обычные приемы, чтобы найти электрическое поле точечного заряда, а затем умножить на какой-то заряд, чтобы получить силу. Наверняка это закон силы Кулона?

Дани

Почему 8 уравнений Максвелла, а не 4? Я что-то упускаю?

ахатрч

@DanilH: я имел в виду 8 скалярных уравнений. Из четырех уравнений Максвелла два являются векторными уравнениями.

ахатрч

@Daniel Blay: Я думаю, когда вы говорите об обычных трюках, вы имеете в виду создание сферической поверхности вокруг точечного заряда. Проблема для меня в том, откуда мы знаем, что величина электрического поля от точечного заряда сферически-симметрична. Кроме того, как мы можем вывести, что магнитного поля нет (если это возможно вывести из уравнений Максвелла)? :)

Дани

Сферическая симметрия не включена в уравнение Максвелла. Чтобы перейти от закона Гаусса к закону Кулона для точечных частиц, создающих в пространстве сферическое симметричное электрическое поле, необходимо сделать это предположение. Кроме того, уравнения Максвелла не говорят вам, что магнитного поля нет, они просто говорят вам, что нет магнитных монополей (снова закон Гаусса). Электрическое и магнитное поля являются двумя сторонами одного и того же поля: электромагнитного поля.

Ответы (4)

Достаточно ли уравнений Максвелла, чтобы вывести закон Кулона?

По существу противоположный вопрос (v3) см. в этом сообщении Phys.SE.
Да, я уже читал этот пост, но мой вопрос совсем в другом.
Не было бы тривиальным применить теорему о расходимости к закону Гаусса, чтобы получить его в интегральной форме. Отсюда кажется достаточно простым использовать обычные приемы, чтобы найти электрическое поле точечного заряда, а затем умножить на какой-то заряд, чтобы получить силу. Наверняка это закон силы Кулона?
Почему 8 уравнений Максвелла, а не 4? Я что-то упускаю?
@DanilH: я имел в виду 8 скалярных уравнений. Из четырех уравнений Максвелла два являются векторными уравнениями.
@Daniel Blay: Я думаю, когда вы говорите об обычных трюках, вы имеете в виду создание сферической поверхности вокруг точечного заряда. Проблема для меня в том, откуда мы знаем, что величина электрического поля от точечного заряда сферически-симметрична. Кроме того, как мы можем вывести, что магнитного поля нет (если это возможно вывести из уравнений Максвелла)? :)
Сферическая симметрия не включена в уравнение Максвелла. Чтобы перейти от закона Гаусса к закону Кулона для точечных частиц, создающих в пространстве сферическое симметричное электрическое поле, необходимо сделать это предположение. Кроме того, уравнения Максвелла не говорят вам, что магнитного поля нет, они просто говорят вам, что нет магнитных монополей (снова закон Гаусса). Электрическое и магнитное поля являются двумя сторонами одного и того же поля: электромагнитного поля.

Эмилио Писанти · Answer 1

Короткий ответ — да, и на самом деле вам нужно только одно-единственное уравнение Максвелла, закон Гаусса, вместе с силой Лоренца, чтобы получить закон Кулона.

В частности, вам нужен закон Гаусса в его интегральной форме, которая эквивалентна дифференциальной форме для полей с хорошим поведением из- за теоремы Гаусса . Таким образом, вы используете закон

\nabla \cdot Е знак равно р / ϵ_{0} \Leftrightarrow \oint_{С} Е \cdot г а знак равно Вопрос / ϵ_{0},

$\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_0\quad\Leftrightarrow\quad \oint_S\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=Q/\epsilon_0,$ куда

Q

$Q$ - полный заряд, заключенный на (произвольной) поверхности

S

$S$ .

Чтобы вывести закон Кулона, рассмотрим электрическое поле одной точечной частицы, не имеющей ничего другого во Вселенной. Из-за изотропии (которую следует добавить в качестве дополнительного постулата) электрическое поле на сфере радиусом $r$ центр заряда должен быть радиальным и иметь одинаковую величину на всем протяжении. Это означает, что интеграл тривиален и электрическое поле должно быть

Е знак равно \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} р^{2}} \hat{р} .

$\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\hat{\mathbf{r}}.$

В сочетании с законом силы Лоренца при нулевой скорости пробной частицы (поскольку закон Кулона выполняется только в электростатике) это дает закон Кулона.

Не очевидно, что эта в высшей степени симметричная ситуация может дать общую электростатическую силу для множества частиц. Это следует из принципа суперпозиции, лежащего в основе классической электродинамики и выводимого из линейности уравнений Максвелла. Это дает вам поле для одного источника; добавьте поля для всех отдельных источников, и вы получите поле для коллекции источников.

Янек_Козицкий · Answer 2

Точный вывод выглядит следующим образом. Вы начинаете с закона Гаусса, интегрируете обе стороны по некоторому объему V:

\overset{г я в}{\vec{\nabla}} \cdot \vec{Е} знак равно \frac{1}{ϵ_{0}} р / \underset{В}{∭} г^{3} \vec{р}

$\stackrel{\tiny div}{\vec{\nabla}}\cdot\vec{\mathbf{E}}=\frac{1}{\epsilon_0}\rho \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\Big/\iiint\limits_V\,d^3\vec{r}$ Затем переключитесь на интегрирование по замкнутой поверхности, а также заметьте, что полный заряд внутри этого объема равен Q:

\underset{В}{∭} \overset{г я в}{\vec{\nabla}} \cdot \vec{Е} г^{3} \vec{р} знак равно \oint \vec{Е} \cdot д \vec{о} знак равно \underset{В}{∭} \frac{1}{ϵ_{0}} р г^{3} \vec{р} знак равно \frac{Вопрос}{ϵ_{0}}

$\iiint\limits_V\stackrel{\tiny div}{\vec{\nabla}}\cdot\vec{\mathbf{E}}\,\,d^3\vec{r}=\oint\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec\sigma=\iiint\limits_V\frac{1}{\epsilon_0}\rho\,\,d^3\vec{r}=\frac{Q}{\epsilon_0}$ Теперь вам нужно отметить, что объем интегрирования довольно произволен, как и поверхность, поэтому мы будем использовать сферу. Вы можете описать интеграл по сфере, используя:

\frac{Вопрос}{ϵ_{0}} знак равно \oint \vec{Е} \cdot д \vec{о} знак равно \int_{ф знак равно 0}^{ф знак равно 2 π} \int_{θ знак равно 0}^{θ знак равно π} Е \hat{\vec{н}} \cdot \hat{\vec{н}} р д ф р д θ знак равно 4 π р^{2} Е / \frac{1}{4 π р^{2}}

$\frac{Q}{\epsilon_0}=\oint\vec{\mathbf{E}}\cdot d\vec\sigma=\int\limits_{\phi=0}^{\phi=2\pi}\int\limits_{\theta=0}^{\theta=\pi}\mathbf{E}\hat{\vec{n}}\cdot\hat{\vec{n}}\,R\,d\phi\,R\,d\theta=4\pi R^2\mathbf{E}\,\,\,\,\,\,\Big/\frac{1}{4\pi R^2}$ И так вы получаете:

Е знак равно \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} р^{2}}

$\mathbf{E}=\frac{Q}{4\pi \epsilon_0 R^2}$ Так должно быть:

\vec{Е} знак равно \frac{Вопрос}{4 π ϵ_{0} р^{2}} \hat{р}

$\vec{\mathbf{E}}=\frac{Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\hat{\mathbf{r}}$ Но я потерял вектор нормали по пути (надеюсь, что кто-то может это исправить и отредактировать этот пост).

Теперь вы используете закон силы Лоренца (где $\vec{\mathbf{B}}=\vec 0$ ):

{\vec{Ф}}_{л о р} знак равно д \vec{Е} + д \vec{В} \times \vec{Б} знак равно \frac{д Вопрос}{4 π ϵ_{0} р^{2}} \hat{р}

$\vec{\mathbf{F}}_{lor}=q \vec{\mathbf{E}}+q \vec{\mathbf{V}}\times\vec{\mathbf{B}}=\frac{q\,Q}{4\pi\epsilon_0 R^2}\hat{\mathbf{r}}$ Таким образом, вы получаете закон силы Кулона.

Нет, вы не потеряли единичный вектор. Вы рассчитали заряд, который не является вектором. Это геометрический аргумент (уже приведенный в предыдущем ответе physics.stackexchange.com/a/44423/16689 : электрическое поле в сфере радиуса r с центром на заряде должно быть радиальным и иметь одинаковую величину повсюду ), который позволяет вам восстановить векторную форму электрического поля.
спасибо, я надеялся на более строгий (математически говоря) метод восстановления единичного вектора. Это правда, что заряд не является вектором, поэтому в этом расчете невозможно получить единичный вектор. Но просто «добавить» (записать) его после завершения вывода — это не то, что я предпочитаю. Может быть, мы сможем сделать это строго математически, если воспользуемся $\hat{\vec{z}}$ ось, которая в настоящее время используется только для определения $\theta$ угол внутри интеграла.

чудесный · Answer 3

Если вы спрашиваете о законе Колумба для электрических полей , да , вы можете увидеть ответы других.

Если вы спрашиваете о законе Колумба для электрической силы ,

НЕТ!

$\text{NO!}$

Уравнения Максвелла НЕ говорят вам о том, как сила, действующая на заряды, $q$ или токи $\vec{J}$ .

Проще говоря, чтобы ПОЛНОСТЬЮ понять классический E&M (т. е. можно определить физику по проблеме с начальными значениями, чтобы определить все ее последствия — физика собирается определить/предсказать будущее), вам нужны ОБА:

(1) Уравнения Максвелла

(2) Закон силы Лоренца (ньютоновская механика, E&M эквивалентность ньютоновской силы гравитации.)

Изюминка I: (1) и (2) абсолютно разные вещи.

Лагранжев и вариационный принцип Точка зрения EOM

Однако, если вы начнете с лагранжевой точки зрения, записав действие:

С знак равно \int (- \frac{1}{2} | ф |^{2} + А \land * Дж) знак равно \int г^{3} Икс д т (- \frac{1}{4} ф_{мю ν} ф^{мю ν} + А_{мю} {Дж}^{мю})

$S=\int (-\frac{1}{2} |f|^2 + A \wedge *J)=\int d^3xdt (-\frac{1}{4} f_{\mu\nu} f^{\mu\nu} + A_\mu J^\mu)$ с 2-формой напряженности поля

f_{μ ν} = \partial_{μ} A_{ν} - \partial_{ν} A_{μ}

$f_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$ дает вам поля E и M, вы можете определить уравнение Максвелла из уравнений движения (EOM), выполнив принцип вариации на калибровочном поле 1 = форма

A

$A$ . Источником является ток 1-формы

J = (ρ, \vec{J})

$J=(\rho,\vec{J})$ .

Уравнения Максвелла: EOM относительно переменного калибровочного поля 1-формы $A$

Вы получаете уравнения Максвелла , варьируя $A$ :

д * Ф знак равно Дж -Закон Гаусса для электричества, закон Максвелла-Ампера

$d*F=J \;\;\;\text{-Gauss law for electricity, Maxwell-Ampere's law}$ а также

г Ф знак равно д^{2} А знак равно 0 -Закон Гаусса для магнетизма, уравнение Максвелла-Фарадея

$dF=d^2A=0 \;\;\;\text{-Gauss's law for magnetism, Maxwell–Faraday equation}$

Как насчет закона силы Лоренца? Вы можете сделать изменение относительно пространственной координаты $x^\mu=(t,x)$ , и вам нужно указать, какая массивная частица с массой $m$ испытывать силу $F$ , который $F=m \ddot{\vec{x}}$ по ньютоновской механике. Чтобы указать массивную частицу в лагранжиане/действии, вам просто нужно добавить ее кинетическую энергию $\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2$ .

Закон силы Лоренца: EOM относительно меняющихся координат пространства-времени $x^\mu=(t,x)$

С знак равно \int г^{3} Икс д т (- \frac{1}{4} ф_{мю ν} ф^{мю ν} + А_{мю} \land {Дж}^{мю} + \frac{1}{2} м {\dot{\vec{Икс}}}^{2}) \to \int г^{3} Икс д т (+ д Φ - д \dot{\vec{Икс}} \cdot \vec{А} + \frac{1}{2} м {\dot{\vec{Икс}}}^{2})

$S=\int d^3xdt (-\frac{1}{4} f_{\mu\nu} f^{\mu\nu} + A_\mu \wedge J^\mu+\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2) \to \int d^3xdt (+ q\Phi - q \dot{\vec{x}} \cdot \vec{A}+\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2)$

вы получите закон силы Лоренца

м \ddot{\vec{Икс}} знак равно д \vec{Е} + д \dot{\vec{Икс}} \times \vec{Б}

$m \ddot{\vec{x}}=q\vec{E}+q \dot{\vec{x}} \times \vec{B}$

Изюминка II: Принципы действия и вариации очень сильны, чтобы объединить (1) уравнения Максвелла и (2) закон силы Лоренца в одной структуре.

Приведенный выше набросок вывода силы на точечные частицы встречается в хороших книгах, но для точечных частиц имеет фундаментальный недостаток. Для таких частиц член поля взаимодействия не имеет значения, так как поле сингулярно на частице, а член чистого поля бесконечен, что делает недействительным любое формальное дифференцирование. Результат, хотя и кажется правильным, неверен: как векторный потенциал, суммарное электрическое и магнитное поля не определены в месте нахождения частицы. $\vec{x}$ .
@ Ян Лалински, спасибо, но ты упускаешь мою мысль. Поле НЕ от точечной частицы сингулярного размера, а от окружающего ее внешнего источника. Таких как внешний ток, электрические плоскости и т.д. Вывод осуществляется внешним ЭМ воздействием на точечную частицу.
Так что ваш комментарий на самом деле НЕ к моей точке зрения.
В первой части вашего вывода вы говорите о выводе уравнений Максвелла, так что здесь $f_{\mu\nu}, A_\mu$ – суммарные поля, создаваемые заданными источниками. Во второй части после «Как насчет закона силы Лоренца?», если по $f_{\mu\nu}, A_\mu$ вы ссылаетесь на внешние поля, вывод правильный, но, пожалуйста, постарайтесь четко указать это в своем тексте: из-за первой части и даже без нее, когда большинство людей видят эти символы, они предполагают, что они относятся к общему полю.

старший · Answer 4

Учитывая закон Гаусса И силу Лоренца, да, можно вывести закон Кулона, поскольку на него уже был дан ответ. Поэтому я думаю, что вопрос в том, можно ли вывести его, учитывая ТОЛЬКО четыре уравнения Максвелла (а не силу Лоренца). Ответ по-прежнему положительный, поскольку сила Лоренца эквивалентна закону Фарадея и может быть получена из него. Связь между законом Фарадея и силой Лоренца не является тривиальной в трехмерном пространстве, поскольку возникает парадокс Фарадея (см. вики). С другой стороны, когда электромагнетизм выражается в ковариантной формулировке, такого парадокса не существует.

Формула силы Лоренца не следует ни из уравнений Максвелла, ни из закона Фарадея. $\nabla \times \mathbf E = -\frac{\partial \mathbf B}{\partial t}$ , что является частью уравнений Максвелла.

Достаточно ли уравнений Максвелла, чтобы вывести закон Кулона?

ахатрч

Qмеханик

ахатрч

Дэниел Блей

Дани

ахатрч

ахатрч

Дани

Ответы (4)

Эмилио Писанти

Янек_Козицкий

ФраШелле

Янек_Козицкий

чудесный

Ян Лалински

чудесный

чудесный

Ян Лалински

старший

Ян Лалински

Электростатическая сила и ее влияние на трехмерные объекты

Информативность электростатических уравнений Максвелла против закона Кулона против уравнения Пуассона

Два заряда, притягиваясь друг к другу, постоянно ускоряются?

Электрическая сила между зарядами в двух разных средах

Сила в северном полушарии

Можно ли вывести закон всемирного тяготения Ньютона из закона Кулона? [дубликат]

Можно ли заставить электрическое поле проникать в толщу металла?

Почему мы видим движение положительных зарядов, если протоны не движутся в твердом проводнике?

Изменяющийся во времени закон Ампера

Можно ли квалифицировать заряд, движущийся по открытой траектории, как ток?