Два выражения для потенциальной энергии в гравитационном поле Земли

Первое выражение$U(r) = -\frac {GM} r$является потенциальной, но не потенциальной энергией. Единицы: скорость ² . Это широко используемый потенциал в астрономии Солнечной системы, геологии, геофизике и аэрокосмической технике. Например, см. http://ocw.mit.edu/courses/earth-atmospheric-and-planetary-sciences/12-201-essentials-of-geophysics-fall-2004/lecture-notes/ch2.pdf , начиная с внизу третьей страницы.

Это становится энергией, когда вы умножаете на массу$m$пробной частицы, на которую действует масса$M$:$U(r) = -\frac {GMm}r$. Второе выражение,$U=mgh$, является линейным приближением к первому.

Линейное приближение некоторой функции$f(x)$в какой-то момент$x=x_0$можно построить, используя первые два члена разложения Тейлора$f(x)$. Это дает$f(x) \approx f(x_0) + \frac{df(x)}{dx}(x-x_0)$. Применение этой концепции к потенциальному$U(r)$приводит к

$$U(r) \approx U(r_0) + \left.\frac {dU(r)}{dr}\right|_{r=r_0}(r-r_0)$$ При выборе $r_0$как радиус Земли, $r-r_0$становится высотой $h$. Производная $\frac {dU(r)}{dr}$является $\frac {GM}{r^2}$, а на поверхности Земли это становится $g$. Наконец, потенциальная энергия включает произвольную аддитивную константу. Мы можем избавиться от этого постоянного члена $U(r_0)$без потери общности. Окончательный результат $$U(r) \approx mgh$$

Заметить, что$h$и$r$связаны следующим образом:

$$\begin{align} r = R + h \end{align}$$ где $R$- радиус Земли (расстояние от центра до поверхности) и $h$это высота над поверхностью. Тогда заметьте, что $$\begin{align} U = -\frac{GmM}{r} = -\frac{GMm}{R+h} = -\frac{GMm}{R}\left[1 -\frac{h}{R} + O(\frac{h}{R})^2\right]. \end{align}$$ Сейчас $g$определяется как величина ускорения свободного падения на поверхности Земли, а именно $$\begin{align} g = \frac{GM}{R^2} \end{align}$$ так что мы можем написать $$\begin{align} U = -mgR\left[1 -\frac{h}{R} + O(\frac{h}{R})^2\right] \end{align}$$ Теперь мы просто отметим, что потенциальная энергия определяется только с точностью до аддитивной константы, поэтому мы можем добавить $mgR$к этому выражению, чтобы получить $$\begin{align} U = mgR\left[\frac{h}{R} + O(\frac{h}{R})^2\right]. \end{align}$$ Другими словами, формула $mgh$является приближенной формой более точной формулы $-GmM/r$для высоты $h$над поверхностью Земли, которые малы по сравнению с радиусом R$ Земли, поскольку, когда это отношение мало, членами более высокого порядка в скобках справа можно пренебречь в хорошем приближении.