Пружина-масса-маятник "по законам Ньютона"

Хорошее начало — сделать свободную диаграмму тела всех частей. Отметьте известные и неизвестные силы. Помните, что если у вас есть сила$\mathbf{F}$на одну часть в точке контакта с другой частью, на контактирующую часть действует сила$-\mathbf{F}$. Затем составьте дифференциальное уравнение для движения с учетом полных сил, действующих на интересующие детали.

Вы сделали первый шаг — признали степени свободы системы ($x$и$\theta$). Назовем тело блока [1] и тело сферы [2] и длину стержня$\ell$.

• Кинематика
  • Выразите положение суставов и центров масс как функцию степеней свободы. Например $${\bf r}_{2} = ( x + \ell \sin \theta, -\ell \cos \theta,0)$$
  • Аналогичным образом выразите скорость вращения $${\boldsymbol \omega}_2 = \dot{\theta} {\bf \hat{z}}$$
  • Возьмите полную производную положения, чтобы найти скорость, а затем ускорение центров масс. Например $${\bf v}_2 = (\dot{x} + \dot{\theta} \ell \cos\theta, \dot{\theta} \ell \sin \theta,0)$$ и $${\bf a}_2 = (\ddot{x} + \ddot{\theta} \ell \cos\theta - \ell \dot{\theta}^2 \sin \theta, \ddot{\theta} \ell \sin \theta + \ell \dot{\theta}^2 \cos \theta,0)$$
  • Возьмите полную производную скорости вращения для ускорения вращения $${\boldsymbol \alpha}_2 = \ddot{\theta}{\bf \hat{z}}$$
• Динамика
  • Составьте диаграмму свободного тела для каждого тела и просуммируйте силы, действующие на каждое тело, и крутящие моменты относительно каждого центра масс каждого тела. Для каждого соединения прикладывают соответствующие силы реакции на следующее тело и равные и противоположные силы на предыдущее. Например (учитывая напряжение$T$, трение$f_1$и нормальная сила$n_1$) $$\begin{align} \Sigma {\bf F}_1 & = {\bf T}_{12} + {\bf W}_1 & \Sigma {\bf F}_2 & = -{\bf T}_{12} + {\bf W}_2 \\ & = \begin{pmatrix} T \sin\theta+f_1 \\ -T \cos\theta-m_1 g+n_1 \\ 0 \end{pmatrix} & & = \begin{pmatrix} -T \sin\theta \\ T \cos\theta-m_2 g \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$$ _{${\bf W}$обозначает приложенные силы и${\bf T}$внутренние объединенные силы}
  • Уравнения движения $$\begin{align} \Sigma {\bf F}_1 & = m_1 {\bf a}_1 &\Sigma {\bf F}_2 & = m_2 {\bf a}_2 \\ \Sigma {\bf M}_1 & = I_1 {\boldsymbol \alpha}_1 + {\boldsymbol \omega}_1 \times I_1 {\boldsymbol \omega}_1 & \Sigma {\bf M}_2 & = I_2 {\boldsymbol \alpha}_2 + {\boldsymbol \omega}_2 \times I_2 {\boldsymbol \omega}_2 \end{align}$$ _{В трехмерных задачах необходимо проявлять осторожность, чтобы выразить матрицу момента инерции масс в мировых координатах, а не в координатах тела.$I = {\rm R} I_{body} {\rm R}^\top$}