Нормальные режимы 3-массово-пружинной системы

Этот вопрос может показаться наивным, но я не студент-физик и тут озадачился.

На плоскости размещены три массы, образующие 3 вершины равностороннего треугольника. Каждые две из них соединены пружиной с жесткостью пружины к . Хорошо известно, что эта система имеет 6 нормальных режимов:

  1. перемещение по оси x или y. Эти два образуют двумерную иррепрезентацию Д 3 но с нулевой частотой В
  2. чистое вращение. Это соответствует знаку rep Д 3 .
  3. режим дыхания. Это представитель Д 3 .
  4. насосный режим. (у этого есть два) Эти два соответствуют 2-му неравенству Д 3 но с ненулевой частотой В .

У меня возник вопрос, когда я смотрел на режим вращения: как выглядит этот режим? Я думал, что это выглядит следующим образом:

В пружинах нет возвращающих сил: это легко видеть, но как массы могут двигаться по окружности без удерживающих их сил? (чтобы их не оттолкнуло центробежной силой?)

Ответы (3)

Массы, движущиеся по кругу, должны иметь результирующую силу, притягивающую к центру. Сила будет равна векторной сумме двух пружин, к которым прикреплена каждая масса. Компоненты силы, тангенциальные к круговой траектории, будут компенсированы, но компоненты в радиальном направлении добавятся и будут направлены внутрь. Это потребует, чтобы пружины немного растянулись.

Это похоже на комбинацию режима вращения и режима дыхания. Вопрос, на который нужно ответить, таков: «Являются ли нормальные режимы математическим разложением или можно физически реализовать каждый нормальный режим?» Ваш вопрос подчеркивает, что режим вращения сам по себе не может возникнуть без некоторого вклада режима дыхания.

@LaserMatter: Спасибо за ваш ответ. Значит, режим вращения — это только математический режим, и его нельзя идеально реализовать в реальном мире?
@LaserMatter При дальнейшем рассмотрении вашего очень хорошего ответа я думаю, что вращательный режим имеет «встроенные в него» растянутые пружины, поэтому он реализуем физически. Что физически не реализуемо, так это вращение с нерастянутыми пружинами?
@Farcher да, я согласен. Режим дыхания – колебательный. Так что я был неправ. Может быть, это то, что происходит, когда я отвечаю на вопросы поздно ночью. Но то, что пружина растягивается для обеспечения нужной центростремительной силы, все же верно.

Возвращающих сил в пружинах нет: это нетрудно заметить, ......

Я не думаю, что это утверждение верно.
В режиме вращения пружины растянуты, но массы не вибрируют, тогда как в режимах дыхания и двух хлопков массы вибрируют вокруг центра масс. Именно эти растянутые пружины обеспечивают центростремительные силы на каждой из масс, которые позволяют массам вращаться вокруг их общего центра масс.

Я знаю. Я только что понял, что вращательный режим - это математический режим, и в реальном мире не может быть чистого вращательного режима...
@Zhao_L это правильный способ думать об этом, даже если ваш вывод неверен. Обычное математическое понятие «нормальных мод» относится к бесконечно малым смещениям от начального состояния, т. е. к очень малому движению вдоль касательных векторов к окружности через три массы. Но реальная жизнь не заботится о математических приближениях, используемых для создания линейной модели малых перемещений, и в реальной жизни конструкция может свободно вращаться с постоянной угловой скоростью на любой сколь угодно большой угол.
@alephzero Спасибо! Итак, строго говоря, все режимы являются комбинациями нормальных режимов только в бесконечно малой окрестности сбалансированного состояния, и глобальная картина, показанная на анимированном gif, на самом деле математически неверна?

Вращение будет включать центростремительные силы, которым необходимо противодействовать комбинацией натяжения пружин.

Для этой системы существует множество других режимов вибрации и их гармоник.

1 - две массы можно развести вертикально вдоль оси y, а третью массу можно потянуть вдоль оси x и отпустить. Система будет вибрировать из-за того, что 3-я масса движется вперед и назад вдоль оси x, а две массы могут вибрировать вверх и вниз по оси y, при условии, что смещения малы и столкновения не произойдет.

2- Та же конфигурация, за исключением того, что на этот раз третий груз тянется вправо и вверх, скажем, на десятую часть длины пружины, а затем отпускается. На этот раз массы будут вибрировать по трем маленьким кругам диаметром 2/3 десятых (приблизительно) длины пружины, в то время как система отверстий мягко вибрирует и вращается вокруг беспорядочно круглого центра.
Изменяя x и y смещения третьей массы, мы можем заставить систему колебаться в некоторых сложных режимах.

3- методом проб и ошибок мы можем найти место костюма, где, если мы возмущаем массы, система будет проходить через множество режимов вибрации и резонировать вокруг собственной частоты каждого режима, а затем переходить в другой режим. Похоже на танец стайки мух вокруг свечи.

Но не являются ли эти другие режимы просто линейными комбинациями шести режимов, указанных @LaserMatter?
Думаю, нет. Моды, которые я предлагаю, не имеют симметрии ни с осями, ни даже с полярной симметрией. Как и в примере, который я дал, перемещая третью массу в точки x+1, y+1, восстанавливающая сила первоначально будет силой пружины между массами 3 и 2 в качестве растяжения и массами 1 и 3 в качестве сжатия, но постепенно инерция J вращения оси масс 1 и 2 будет способствовать восстанавливающей силе. Затем снова этот J изменится из-за изменения расстояния между массами 1 и 2. Это уменьшит действие первоначальных сил. Таким образом система пройдет новые фазы вибрационных конфигураций!
Нормальные режимы 3-массово-пружинной системы
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v