Каково значение зажима центра пружины?

я не понимаю часть зажима центра катушки или его обрезки

Метод решения апеллирует к симметрии. По сути, система симметрична (или даже относительно центра пружины), и эта симметрия используется для получения ответа.

Если вы прошли первый семестр по электростатике, вы, возможно, знакомы с методом изображений . В этом случае симметрии нет, но мы создаем симметричную задачу с известным решением, расширяя область с помощью зеркального отображения.

По сути, это обратная сторона такого подхода. У нас есть симметричная задача, которую мы решаем, обращаясь к известному решению несимметричной задачи, разрезая область пополам.

Поскольку задача симметрична, мы знаем, что если одну массу сместить на$\Delta x$, другая масса смещается на равную и противоположную величину.

Таким образом, длина пружины изменяется на$2\Delta x$поэтому величина силы, действующей на любую массу, изменяется на$2k\Delta d$

Дело в том, и в этом нетрудно убедиться, что если мы посмотрим только на «одну сторону» этой проблемы, окажется, что любая масса прикреплена к пружине, которая закреплена в центре и имеет жесткость$2k$. Таким образом, частота колебаний этой «односторонней» задачи равна

$$\omega = \sqrt{2k/m} = \sqrt{2}\sqrt{k/m}$$

Обращение к симметрии — мощный метод «интуитивно понять» ответ из известных решений.

Что касается действия силы тяжести, если предположить, что пружина является линейной , на частоту колебаний не влияет постоянная сила смещения.

То есть частота колебаний ,$\omega = \sqrt{2k/m}$то же самое для следующих двух дифференциальных уравнений:

$$m\ddot x + 2kx = 0$$

$$m\ddot x + 2kx = mg$$

Эффект постоянной гравитационной силы в правой части 2-го уравнения, по существу, состоит в том, чтобы добавить постоянное смещение к решению для функции положения без изменения частоты .

Уравнение движения одной массы$m$прикреплен к пружине с упругой жесткостью$k$(с закрепленным другим концом) на Земле

$$\ddot{x} + \omega^2 x = g$$ где $2 \pi f = \omega = \sqrt{k / m}$. Если не очевидно, что $g$член в правой части не влияет на частоту, обратите внимание, что если мы изменили наше происхождение так, что $z = 0$когда $x = g/\omega^2$-- то есть, $z = x - g/\omega^2$-- тогда уравнение движения для $z$является $$\ddot{z} + \omega^2 z = 0$$

Уравнение движения на разность положения$d = x_2 - x_1$двух одинаковых масс, прикрепленных к концам пружины в пространстве,

$$\begin{eqnarray} m \frac{d^2}{dt^2} \left(x_2 - x_1\right) &=& - k\left(x_2 - x_1\right) - k\left(x_1 - x_2\right) \\ &=& - 2 k\left(x_2 - x_1\right) \\ \end{eqnarray}$$ или $$\ddot{d} + \frac{2k}{m} d = \ddot{d} + \omega'^2 d = 0$$ где $2 \pi f' = \omega' = \sqrt{2k/m} = \sqrt{2} \omega = 2 \pi \left(\sqrt{2} f\right)$, так $$f' = \sqrt{2} f$$

В качестве альтернативы подумайте о пружине (с жесткостью пружины$k$) как две одинаковые элементарные пружины (каждая с жесткостью пружины$k_0$) последовательно . Следует, что$k=\frac{k_0}{2}$, а значит, и из формулы для характеристической частоты, что$f=\frac{f_0}{\sqrt{2}}$.

1. В пространстве без гравитации средняя точка будет покоиться из-за симметрии, поэтому каждая сторона ведет себя как элементарная пружина с частотой$f_0$.

2. Вернувшись на Землю, весна растянется в гравитационном поле. Если предположить, что мы остаемся в линейном режиме пружины, постоянная пружины останется прежней, поэтому она будет колебаться с той же характерной частотой, что и в пространстве, вокруг новой точки равновесия. Этот факт можно рассматривать как результат принципа суперпозиции в ньютоновской механике.