Единственность разложения Гельмгольца?

При подходящих граничных условиях разложение единственно. Без них никак.

Предположим, что$(\phi,{\bf G})$и$(\phi',{\bf G}')$два разных разложения одной и той же функции. Затем

$$\nabla(\phi-\phi')+\nabla\times({\bf G}-{\bf G}')=0.$$ Возьмите расхождение обеих сторон, чтобы найти, что $$\nabla^2(\phi-\phi')=0.$$ Таким образом, для любых двух различных разложений скалярное поле $\phi$должны отличаться на гармоническую функцию $f$(то есть один с $\nabla^2f=0$). Более того, любая гармоническая функция будет работать, т. е. будет возможность выбрать ${\bf G}'$согласиться с этим $\phi'$. Чтобы увидеть это, обратите внимание, что мы должны выбрать ${\bf G}'$удовлетворить $$\nabla\times({\bf G}'-{\bf G})=\nabla f.$$ Правая часть этого выражения бездивергентна (поскольку $\nabla^2f$), и любое бездивергентное векторное поле может быть выражено как ротор некоторого другого бездивергентного векторного поля, поэтому ${\bf G'}-{\bf G}$существует.

(Несколько замечаний: именно этот последний факт позволяет нам определить векторный потенциал для данного магнитного поля, в частности, в кулоновской калибровке. Честно говоря, я не помню доказательства существования функции${\bf G}$чей завиток${\bf B}$для любого бездивергентного${\bf B}$. Я помню, как ты это показываешь, получив такую${\bf G}$, вы можете сделать его без расхождений: просто вычтите$\nabla q$куда$\nabla^2q=\nabla\cdot{\bf G}$. Новый${\bf G}$будет иметь тот же завиток, что и старый, и не будет расходиться.

И еще одно: сложности возникают, если рассматриваемая нами область не является просто связанной. Скажем так.)

Таким образом, ответ заключается в том, что для того, чтобы сделать разложение уникальным, вы должны наложить достаточно строгие граничные условия, чтобы гармонические функции не существовали. Для компактной области без границы (такой как поверхность сферы) вам не нужны никакие граничные условия: на таких областях нет непостоянных гармонических функций. (Хорошее доказательство этого: вы можете доказать, что гармонические функции никогда не имеют локальных максимумов или минимумов, но непостоянная функция в такой области должна их иметь — в частности, она должна где-то иметь глобальный максимум и глобальный минимум.)

Для компактной области с границей необходимо указать либо$\phi$или нормальный компонент$\nabla\phi$на границе. Для старого доброго бесконечного пространства нужно указать, что$\phi$приблизиться к нулю (или к какой-либо другой заданной функции), поскольку вы стремитесь к бесконечному расстоянию.

Легко проверить, что без таких граничных условий вы попадете в беду. Например, возьмем функции

$$\phi=x, {\bf G}=z\hat{\bf j}.$$ Они порождают $${\bf H}=\nabla\phi+\nabla\times{\bf G}=\hat{\bf i}-\hat{\bf i}=0.$$ Таким образом, эту пару можно добавить к любому разложению Гельмгольца, не изменяя исходное векторное поле.