Каков метод нахождения векторов обратной решетки в этой двумерной решетке?

Question

Каков метод нахождения векторов обратной решетки в этой двумерной решетке?

ПОЖАР

Рассмотрим прямоугольную решетку в двух измерениях с примитивными векторами решетки $(a,0)$ и $(0,2a)$ .

Какие из следующих векторов обратной решетки для этой решетки?

(а) $\quad\dfrac{\pi}{a}\left(1,\frac12 \right)$

(б) $\quad\dfrac{\pi}{a}\left(1,2 \right)$

(с) $\quad\dfrac{\pi}{a}\left(2,-1 \right)$

(г) $\quad\dfrac{\pi}{a}\left(0,2 \right)$

(е) $\quad\dfrac{\pi}{a}\left(\frac12,-2 \right)$

Итак, у нас есть

{\vec{а}}_{1} "=" а \hat{я}

$\vec a_1 = a\hat i$ и

{\vec{а}}_{2} "=" 2 а \hat{Дж}

$\vec a_2 = 2a\hat j$ и

{\vec{а}}_{3} "=" \hat{к}

$\vec a_3=\hat k$ так как я собираюсь использовать трехмерную формулу для векторов обратной решетки:

{\vec{б}}_{1} "=" 2 π \frac{{\vec{а}}_{2} \times {\vec{а}}_{3}}{{\vec{а}}_{1} \cdot ({\vec{а}}_{2} \times {\vec{а}}_{3})}, {\vec{б}}_{2} "=" 2 π \frac{{\vec{а}}_{3} \times {\vec{а}}_{1}}{{\vec{а}}_{1} \cdot ({\vec{а}}_{2} \times {\vec{а}}_{3})}, {\vec{б}}_{3} "=" 2 π \frac{{\vec{а}}_{1} \times {\vec{а}}_{2}}{{\vec{а}}_{1} \cdot ({\vec{а}}_{2} \times {\vec{а}}_{3})}

$\vec b_1 =2\pi\frac{\vec a_2 \times \vec a_3}{\vec a_1\cdot(\vec a_2 \times \vec a_3)},\quad\vec b_2 =2\pi\frac{\vec a_3 \times \vec a_1}{\vec a_1\cdot(\vec a_2 \times \vec a_3)},\quad\vec b_3 =2\pi\frac{\vec a_1 \times \vec a_2}{\vec a_1\cdot(\vec a_2 \times \vec a_3)}$

Для 2D-решетки мне сказали, что

Если вы хотите использовать определение 3D с перекрестными произведениями для вывода $\vec b$ вектора, выбирай $\vec a_3 = \hat k$ .

Это то, что сказал мне мой лектор, и это есть в моих конспектах лекций.

Итак, я начинаю с вычислений

{\vec{а}}_{2} \times {\vec{а}}_{3} "=" | \begin{matrix} \hat{я} & \hat{Дж} & \hat{к} \\ 0 & 2 а & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} | "=" 2 а \hat{я}, {\vec{а}}_{3} \times {\vec{а}}_{1} "=" | \begin{matrix} \hat{я} & \hat{Дж} & \hat{к} \\ 0 & 0 & 1 \\ а & 0 & 0 \end{matrix} | "=" а \hat{Дж}, {\vec{а}}_{1} \times {\vec{а}}_{2} "=" | \begin{matrix} \hat{я} & \hat{Дж} & \hat{к} \\ а & 0 & 0 \\ 0 & 2 а & 0 \end{matrix} | "=" 2 а^{2} \hat{к}

$\vec a_2 \times \vec a_3= \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 0 & 2a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{vmatrix}=2a\hat i,\,\,\,\,\,\vec a_3 \times \vec a_1= \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ 0 & 0 & 1 \\ a & 0 & 0 \\ \end{vmatrix}=a\hat j,\,\,\,\,\,\vec a_1 \times \vec a_2= \begin{vmatrix} \hat i & \hat j & \hat k \\ a & 0 & 0 \\ 0 & 2a & 0 \\ \end{vmatrix}=2a^2\hat k$

Подстановка этих результатов в формулу для векторов обратной решетки дает

{\vec{б}}_{1} "=" 2 π \frac{2 а \hat{я}}{а \hat{я} \cdot (2 а \hat{я})}, {\vec{б}}_{2} "=" 2 π \frac{а \hat{Дж}}{а \hat{я} \cdot (2 а \hat{я})}, {\vec{б}}_{3} "=" 2 π \frac{2 а^{2} \hat{к}}{а \hat{я} \cdot (2 а \hat{я})}

$\vec b_1 =2\pi\frac{2a\hat i}{a\hat i\cdot\Big(2a\hat i\Big)},\quad\vec b_2 =2\pi\frac{a\hat j}{a\hat i\cdot\Big(2a\hat i\Big)},\quad\vec b_3 =2\pi\frac{2a^2\hat k}{a\hat i\cdot\Big(2a\hat i\Big)}$ С

{\hat{i}}^{2} =

$\hat i^2=$ единица, и все знаменатели одинаковы; при упрощении это дает

{\vec{б}}_{1} "=" 2 π \frac{2 а \hat{я}}{2 а^{2}}, {\vec{б}}_{2} "=" 2 π \frac{а \hat{Дж}}{2 а^{2}}, {\vec{б}}_{3} "=" 2 π \frac{2 а^{2} \hat{к}}{2 а^{2}}

$\vec b_1 =2\pi\frac{2a\hat i}{2a^2},\quad\vec b_2 =2\pi\frac{a\hat j}{2a^2},\quad\vec b_3 =2\pi\frac{2a^2\hat k}{2a^2}$ и так

{\vec{б}}_{1} "=" \frac{2 π}{а} \hat{я}, {\vec{б}}_{2} "=" \frac{π}{а} \hat{Дж}, {\vec{б}}_{3} "=" 2 π \hat{к}

$\vec b_1 =\frac{2\pi}{a}\hat i,\quad\vec b_2 =\frac{\pi}{a}\hat j,\quad\vec b_3 =2\pi\,\hat k$

Я знаю $\vec b_3 =2\pi\,\hat k$ не может быть действительным, поскольку варианты выбора в вопросе не содержат $z$ компонент. Но это первая проблема, другое дело, что единственная комбинация $\vec b_1$ и $\vec b_2$ я могу сделать это

\frac{π}{а} (2, 1)

$\dfrac{\pi}{a}\left(2,1 \right)$ что не соответствует ни одному из вариантов ответа на вопрос.

Два правильных ответа: (в) и (г).

Может кто-нибудь объяснить мне, как найти векторы обратной решетки?

Ответы (1)

Каков метод нахождения векторов обратной решетки в этой двумерной решетке?

Андрей · Answer 1

Вы почти там. Любой вектор обратной решетки можно записать как $\vec{v}=m\vec{b}_1+n\vec{b}_2$ , где $m$ и $n$ являются целыми числами. Подключив то, что вы получили за $\vec{b}_1$ и $\vec{b}_2$ , Вы получаете $\vec{v}=\frac{\pi}{a}(2n,m)$ . Таким образом, первый элемент представляет собой четное целое число (ответы a, b, e неверны), а второй элемент — целое число (ответ a неверен).

Обратите внимание, что более простой способ вычислить векторы обратной решетки — это $\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j=2\pi\delta_{ij}$

Спасибо за ваш ответ, извините, что мне потребовалось время, чтобы ответить. Вы упоминаете, что «более простой способ вычислить векторы обратной решетки — это $\vec{a}_i\cdot\vec{b}_j=2\pi\delta_{ij}$ ". Итак, если бы я выбрал $\vec a_1 = a\hat i$ и написал $a\hat i \cdot \vec {b}_1=2\pi\delta_{ij}$ . С неизвестным $\vec {b}_1$ как бы я поступил? Не могли бы вы показать мне в своем ответе, как таким образом вычислять векторы обратной решетки? Большое спасибо.
$\vec{b}_1=(x,y)$ . Затем $\vec{a}_1\cdot \vec{b}_1=ax$ . Это означает $x=2\pi/a$ . Если $\vec{a}_2=(0,2a)$ затем $\vec{a}_2\cdot \vec{b}_1=2ay=0$ так $y=0$ . Вы делаете то же самое вор $\vec{b}_2$

Каков метод нахождения векторов обратной решетки в этой двумерной решетке?

ПОЖАР

Ответы (1)

Андрей

ПОЖАР

Андрей

Как добавление силового поля обратного куба к силовому полю обратного квадрата меняет орбиту?

Как в бескоординатной теории относительности определить вектор?

Единственность разложения Гельмгольца?

Каково значение нулевого вектора?

Понимание формулы движения снаряда с сопротивлением воздуха

как решить систему дифференциальных уравнений для этой частицы?

Математические определения в теории струн

Как градиент представляет собой максимальную скорость изменения функции?

Текст по математической физике с большим количеством приложений

Гипотеза математической вселенной