Как в бескоординатной теории относительности определить вектор?

Честно говоря, этот бескоординатный материал ОТО (в частности, PDF-файл Виницкого) выглядит как ОТО, которому обучал бы математик, — очень похоже на текст Кармо по римановой геометрии. В классической (псевдо)римановой геометрии векторы определяются как производные от аффинных параметризованных кривых, ковекторы — либо как отображения векторов в скаляры, либо как градиенты скалярных полей. Что-то вроде тензора Римана определяется как карта двух/трех/четырех векторов, выплевывающая два вектора/один вектор/скаляр.

Дифференциальные геометры любят определять все как отображение; Я считаю это чуть ли не фетишем, если честно. Но это удобно: определение тензоров более высокого ранга как отображений векторов означает, что тензор наследует законы преобразования каждого аргумента, и поэтому, как только вы устанавливаете закон преобразования для вектора, автоматически следуют законы преобразования тензоров более высокого ранга.

Редактировать : я вижу, что вопрос больше в том, как можно выяснить, что данная физическая величина является вектором или тензором более высокого ранга. Я думаю, что ответ заключается в том, чтобы посмотреть на поведение величины при изменении координатной карты.

Но, Муфрид, мы никогда не выбирали координатную карту; разве не так работает бескоординатный GR?

Да, но смысл бескоординатного ОТО как раз в том, чтобы как можно дольше оттягивать выбор карты. Диаграмма по-прежнему существует, и большинство результатов зависят от ее наличия, а не от того, что это за диаграмма.

Как нам помогает наблюдение за изменением графика (когда мы никогда не выбирали график)?

Карта перехода от одной карты к другой является диффеоморфизмом, поэтому ее дифференциал можно использовать для продвижения векторов вперед или оттягивания ковекторов назад. Следовательно, законы преобразования, которые обычно характеризуют векторы и ковекторы, все еще существуют . Они выглядят так: пусть$p \in M$быть точкой в ​​нашем общерелятивистском многообразии. Позволять$\phi_1: M \to \mathbb R^4$быть диаграммой, и пусть$\phi_2 : M \to \mathbb R^4$быть другой график. Затем идет карта перехода$f : \mathbb R^4 \to \mathbb R^4$такой, что$f = \phi_2 \circ \phi_1^{-1}$который меняется между картами координат.

Таким образом, если есть вектор$v \in T_p M$, существует соответствующий вектор$v_1 = d\phi_1(v)_p \in \mathbb R^4$то есть отображение исходного вектора в$\phi_1$координатная карта. Затем мы можем двигаться$v_1 \to v_2$по ( редактировать : дифференциал) карты перехода.

Но Муфрид, разве мы не должны работать с настоящим вектором?$v$в касательном пространстве$M$в$p$, а не его выражение на графике,$d\phi_1(v)$?

Вы могли бы так подумать, но (как мне неоднократно внушали в курсе дифференциальной геометрии) мы на самом деле не знаем, как выполнять какие-либо исчисления в чем-либо, кроме$\mathbb R^n$. Так что я думаю, что происходит какая-то ловкость рук, где «на самом деле» мы все время используем какую-то диаграмму, чтобы двигаться в$\mathbb R^4$и делаем вычисления, которые нам нужно сделать.

Это означает, что, по моему мнению, термин « без координат » немного неверен. Координатные карты все еще повсюду. Мы просто оставляем их неопределенными как можно дольше. Все законы преобразования, которые характеризуют векторы, ковекторы и другие ранги тензоров, по-прежнему существуют и по-прежнему позволяют вам определить, является ли объект тем или иным, потому что вы всегда находитесь в какой -то диаграмме и всегда можете переключаться между диаграммами.

Существует 4 распространенных определения касательных векторов, в некоторых из которых координаты используются лишь случайно или вообще не используются.

Определение через законы преобразования

Некоторые физики предпочитают несколько технический вариант (те, кто ценит правила расчета выше геометрического понимания — заткнитесь и считайте, вы, вероятно, знаете этот тип):$\mathbb R$-кортеж, подчиняющийся определенным законам преобразования при замене координат.

Это определение на самом деле имеет смысл в контексте программы Эрлангена, поскольку касательное пространство представляет собой векторный пучок, связанный с основным пучком линейных фреймов. Однако, поскольку касательные пространства обычно вводятся задолго до групп Ли и главных расслоений, определение кажется неинтуитивным.

Определение как классы эквивалентности кривых

Более интуитивный определяет вектор как класс эквивалентности кривых, касательных друг к другу. Нам нужно использовать координаты для определения необходимого контакта кривых первого порядка, но это использование гораздо менее заметно.

Это определение проясняет, почему касательные векторы следует рассматривать как скорости, и имеет естественное обобщение на пространства более высоких струй.

Определение как производное

Мы получаем полностью независимую от координат характеристику, отождествляя векторы с их производными по направлениям: вектор — это просто производная, то есть линейный функционал, удовлетворяющий правилу Лейбница.

Это определение можно найти в (большинстве?) современной литературы по дифференциальной геометрии (где под современным подразумевается что-то вроде 60-х годов).

Алгебраическое определение

Другой бескоординатный (но очень абстрактный) исходит из алгебраической геометрии, и Муфрид обратил на него мое внимание только вчера: существует чисто алгебраическое определение кокасательного пространства , а касательное пространство просто двойственно ему.

Я подозреваю, что алгебраическое определение, вероятно, можно сделать более конкретным (с аналитической точки зрения) в терминах бесконечно малых (см. « Расширенное исчисление » Штернберга для определения бесконечно малых величин, которое имеет смысл в стандартном анализе, но, конечно, не идентично не идентичному). - стандартный).

Из «Гравитации» MTW (через Google Книги):

Обновленный ответ на отредактированный вопрос:

Например, откуда мы знаем в этом бескоординатном контексте, что 4-импульс можно описать как вектор, а магнитное поле — нет?

Мне вспоминается соответствующий раздел из «Первого курса общей теории относительности» Шюца. В разделе 4.4 о тензоре энергии-импульса:

В рамке$\bar O$мы снова имеем числовую плотность$\gamma n$, но теперь энергия каждой частицы$\gamma m$так как он движется. Поэтому плотность энергии$\gamma^2 mn$:

$\gamma^2 \rho =$ плотность энергии в системе отсчета, в которой частицы имеют скорость v

Это преобразование включает два фактора:$\gamma$потому что и объем, и энергия трансформируются. Поэтому невозможно представить плотность энергии как некоторую компоненту вектора. Фактически это компонент тензора [2-го ранга].

Я не прошу определения касательного вектора. Я спрашиваю, какой критерий вы можете использовать, чтобы решить, можно ли описать определенный объект как касательный вектор. Например, откуда мы знаем в этом бескоординатном контексте, что 4-импульс можно описать как вектор, а магнитное поле — нет?

Если я правильно понимаю ваше разъяснение, ваш вопрос на самом деле касается моделирования физических систем, и мой ответ является общим:

То же, что и с любой другой физической теорией, путем сравнения предсказаний нашей модели с экспериментом.

Независимо от того, используем ли мы координаты или язык без координат, геометрия предсказывает свойства (например, законы преобразования) и допустимые операции (например, сжатие), моделируя физические величины как геометрические.

Возьмем электродинамику: в нерелятивистских условиях мы имеем дело с электрическими и магнитными 3-векторными полями и используем векторное произведение для определения силы Лоренца. Мы делаем это таким образом, потому что эксперимент показывает нам, как реальность работает на каком-то уровне.

Теперь, если мы попытаемся сделать из этого релятивистскую теорию, мы не сможем использовать 3-векторы или перекрестные произведения, и окажется, что правильный способ моделирования электромагнитного поля - это 2-форма, закон силы Лоренца, заканчивающийся вверх как сокращение с 4-вектором скорости.

Преимущество релятивистской формулировки в том, что мы получаем правильные законы преобразования бесплатно, т.е. они являются неотъемлемой частью нашей модели.

Итак, 2-форма — это очень общий объект, и мы могли бы спросить себя, есть ли способ понять, откуда она взялась, или есть ли дополнительная геометрическая структура. Это приводит нас к классической калибровочной теории главных расслоений.

Другим примером может служить общая установка релятивистской механики: релятивистские системы должны быть инвариантны к репараметризации, и мы можем сформулировать такую ​​динамику мировых линий, перейдя от обычных струй к струям подмногообразий .

В чем преимущество использования языка без координат над координатами в этом? Лично я рассматриваю это как форму проверки здравомыслия: невозможность записать уравнение, которое появляется в вашей модели, на языке без координат, является запахом дизайна и говорит вам, что вы пропустили часть соответствующей структуры.

Возьмем уравнения движения классической механики:

С высоты птичьего полета динамика задается векторным полем$Z$на каком-то многообразии.

В ньютоновской и гамильтоновой механике его можно определить на бескоординатном языке через

Я не знаю, как это сделать в случае уравнений Эйлера-Лагранжа, и на самом деле я должен признать, что я действительно не усвоил геометрическую структуру лагранжевых теорий (см., например, arXiv:0908.1886 и этот PDF ).

Пока я довольствуюсь просто ньютоновским описанием.

Я включаю несколько комментариев здесь, мои извинения, если они не уместны.

Я читаю «Картан для начинающих » Томаса Айви и Дж. М. Ландсберга. В первой главе они описывают, как «делать» дифференциальные уравнения без координат. Это очень красиво. В какой-то момент стоит взглянуть на математику внешних дифференциальных систем, потому что они очень заинтересованы в поиске систематического метода преобразования основанных на координатах теорий в геометризированные модели реактивного пространства.

С точки зрения физики, учитывая важность лагранжевой формулировки вещей. Вопрос сводится к тому, как построить инвариантный лагранжиан (или, может быть, почти инвариантный с точностью до некоторого члена, обращающегося в нуль на границе...). Ну, как мы строим такие вещи?

Мы должны как-то извлечь скаляр.

Для объектов с групповыми значениями нам нужна некоторая трассировка, чтобы удалить матрицу и получить число.

Для каждого контравариантного индекса нам нужен ковариантный индекс, с которым можно заключать контракты. На мой взгляд, версия вектора без координат — это просто математический объект, который содержит необходимый закон преобразования. Это полностью эквивалентно работе с классами эквивалентности векторов, где эквивалентность оценивается по закону преобразования. С математической точки зрения гораздо проще думать в терминах оснований и координат. Но когда я думаю о построении лагранжиана, я должен признать, что подход с компонентным индексом обладает определенной вычислительной красотой. Более того, некоторые из скоординированных объектов имеют много скрытой внешней алгебры. Например, если я правильно понимаю, формулы для производной дуального к тензору Фарадея в Гриффитсе на самом деле являются координатными формулами для кодивного двойственного тензора Фарадея.

Конечно, у нас есть и спинорные индексы. Мы можем заключать контракты против разных типов и таким образом получать новые скаляры.

Я думаю, что реальный вопрос заключается в том, как построить инварианты.

У математиков есть свои аксиомы для определения того, что такое вектор, физики начинают с вектора как с физической величины, имеющей величину и направление. По крайней мере, так определяет ее Фейнман в томе 1, 11-4 своих лекций по физике. Эти два свойства принадлежат объекту и не могут зависеть от координат, используемых для их обозначения.

Редактировать:

Из комментария Бена я хотел бы добавить, что мы выбираем произвольный вектор в качестве стандарта и используем его для измерения величины и направления остальных векторов. Этот процесс никак не может зависеть от системы координат, которую мы используем для обозначения компонентов вектора.