Электрический потенциал на бесконечной пластине

Вы знаете, что если у вас есть точечный заряд с зарядом$Q$, то разность потенциалов$V$между пространственной бесконечностью и любой точкой на расстоянии$r$от заряда дается

Поскольку электрическое поле однородно, вы правильно заключили, что между любой точкой и пространственной бесконечностью должна существовать бесконечная разность потенциалов. Вы удивлены, потому что это кажется противоречащим первой формуле для$V_\textrm{point}$.

Однако этому есть хорошее объяснение. Если$\dfrac{kQ}{r}$изначально для точечного заряда, какие значения$Q$и$r$мы должны подключить для случая листа? Заметьте, что лист имеет бесконечный заряд, так что, возможно,$Q$должно быть бесконечным. Это объясняет, почему мы можем получить бесконечную разность потенциалов. Тем не менее, существует конкурирующий эффект, происходящий с$r$. По мере того, как вы продвигаетесь дальше по бесконечному листу, вы все дальше и дальше отходите от точки, в которой пытаетесь вычислить потенциал, поэтому кажется, что, возможно,$r$должен быть очень большим, может быть, бесконечно большим. Давайте посмотрим, как правильно решить задачу.

Чтобы правильно решить задачу, вам нужно понять, что каждая точка на бесконечном листе действует как небольшой точечный заряд, поэтому каждая точка дает свой собственный заряд.$\dfrac{kQ}{r}$вклад. Общий потенциал, по суперпозиции, является суммой этих вкладов. Суммируем вклады интегрированием. Давайте сначала выберем систему координат, в которой пластина находится на$x$-$y$плоскости, а точка, где мы хотим узнать потенциал, находится на$z$ось. Мы можем перейти к цилиндрическим координатам, где$\rho = \sqrt{x^2+y^2}$. Тогда расстояние$r$между точкой с координатой$z$на$z$ось и точка с координатой$\rho$дан кем-то$r = \sqrt{z^2 + \rho^2}$, и поэтому, применяя$kQ/r$формула, вклад$dV$к потенциалу от немного заряда$dQ$дистанция$\rho$от происхождения дается

$\begin{equation} \begin{aligned} V&=\int^\infty_0 \frac{2 \pi k \sigma \rho d \rho}{\sqrt{z^2+\rho^2}} \\ &= \pi k \sigma \int^\infty_0 \frac{du}{\sqrt{z^2+u}}\\ &=2 \pi k \sigma \left( \sqrt{\infty + z^2} - |z| \right). \end{aligned} \end{equation}$

Из-за бесконечности квадратного корня приведенный выше потенциал на самом деле бесконечен, даже если мы начали с конечного$kQ/r$закон. Эта бесконечность была возможна потому, что у нас было бесконечно много$Q$. Обратите внимание, что электрическое поле все еще работает, потому что бесконечная часть не имеет пространственного градиента:

вам следует приобрести или скачать «Введение в электромагнетизм Дэвида Дж. Гриффитса». Он говорит об этой проблеме во 2-й главе, в основном его ответ заключается в том, что в этой проблеме наше соглашение о принятии бесконечности как «нулевого потенциала» нарушается ... из его учебника, глава 2, раздел 2.3.1 (комментарии к потенциалу): -

Очевидно, потенциал как таковой не имеет реального физического значения, поскольку в любой данной точке мы можем по желанию регулировать его значение путем подходящего перемещения О. В этом смысле он скорее похож на высоту: если я спрошу вас, как высоко находится Денвер, вы, вероятно, скажите мне его высоту над уровнем моря, потому что это удобный и традиционный ориентир. Но мы могли бы также согласиться измерять высоту над Вашингтоном, округ Колумбия, или над Гринвичем, или где-то еще. Это добавит (или, скорее, вычтет) фиксированную величину ко всем нашим показаниям уровня моря, но ничего не изменит в реальном мире. Единственная представляющая интерес величина — это разница в высоте между двумя точками, и она одинакова независимо от вашего исходного уровня. Сказав это, однако, есть «естественное» точка, используемая для 0 в электростатике, аналогична высоте над уровнем моря — и это точка, бесконечно далекая от заряда. Обычно мы «устанавливаем нуль потенциала на бесконечности». (Поскольку V (0) = 0, выбор точки отсчета эквивалентен выбору места, где V должно быть равно нулю.) Но я должен предупредить вас, что есть одно особое обстоятельство, при котором это соглашение не работает: когда само распределение заряда распространяется до бесконечности. Симптом проблемы в таких случаях состоит в том, что потенциал взрывается. Решение состоит в том, чтобы просто выбрать другую точку отсчета (в этой задаче вы можете использовать начало координат). Обратите внимание, что трудность возникает только в задачах из учебника; в «реальной жизни» нет такой вещи, как распределение заряда, которое продолжается вечно, и мы всегда можем использовать бесконечность в качестве точки отсчета. (Поскольку V (0) = 0, выбор точки отсчета эквивалентен выбору места, где V должно быть равно нулю.) Но я должен предупредить вас, что есть одно особое обстоятельство, при котором это соглашение не работает: когда само распределение заряда распространяется до бесконечности. Симптом проблемы в таких случаях состоит в том, что потенциал взрывается. Решение состоит в том, чтобы просто выбрать другую точку отсчета (в этой задаче вы можете использовать начало координат). Обратите внимание, что трудность возникает только в задачах из учебника; в «реальной жизни» нет такой вещи, как распределение заряда, которое продолжается вечно, и мы всегда можем использовать бесконечность в качестве точки отсчета. (Поскольку V (0) = 0, выбор точки отсчета эквивалентен выбору места, где V должно быть равно нулю.) Но я должен предупредить вас, что есть одно особое обстоятельство, при котором это соглашение не работает: когда само распределение заряда распространяется до бесконечности. Симптом проблемы в таких случаях состоит в том, что потенциал взрывается. Решение состоит в том, чтобы просто выбрать другую точку отсчета (в этой задаче вы можете использовать начало координат). Обратите внимание, что трудность возникает только в задачах из учебника; в «реальной жизни» нет такой вещи, как распределение заряда, которое продолжается вечно, и мы всегда можем использовать бесконечность в качестве точки отсчета. когда само распределение заряда простирается до бесконечности. Симптом проблемы в таких случаях состоит в том, что потенциал взрывается. Решение состоит в том, чтобы просто выбрать другую точку отсчета (в этой задаче вы можете использовать начало координат). Обратите внимание, что трудность возникает только в задачах из учебника; в «реальной жизни» нет такой вещи, как распределение заряда, которое продолжается вечно, и мы всегда можем использовать бесконечность в качестве точки отсчета. когда само распределение заряда простирается до бесконечности. Симптом проблемы в таких случаях состоит в том, что потенциал взрывается. Решение состоит в том, чтобы просто выбрать другую точку отсчета (в этой задаче вы можете использовать начало координат). Обратите внимание, что трудность возникает только в задачах из учебника; в «реальной жизни» нет такой вещи, как распределение заряда, которое продолжается вечно, и мы всегда можем использовать бесконечность в качестве точки отсчета.

Электрические поля из-за бесконечного слоя заряда: