Вы застряли в классических рамках. Это экспериментальный факт, что, как только существование электронов и ядер было установлено наблюдениями и наблюдались атомные спектры, никакое классическое электромагнитное решение не могло соответствовать данным. Итак, ответ на вопрос, почему электрон не падает на протон и не достигает бесконечных энергий, предсказываемых классическим потенциалом 1/r, таков: потому что именно это наблюдалось экспериментально.

Атомные спектры вместе с фотоэлектрическим эффектом и излучением черного тела потребовали введения новой математической теории, которая могла бы соответствовать данным и в целом предсказывать поведение атомов и молекул и многое другое. Она называется квантовой механикой.

Для частиц на микроуровне электронов и ядер нет ни орбит, ни траекторий, есть только вероятностные распределения, называемые орбиталями, и решения уравнений, дающие эти орбитали, не позволяют достичь r=0 1/r-потенциала в классический смысл. Существует вероятность того, что электрон пройдет через r=0, но это все. 1/р там нет. Он был использован для расчета орбиталей.

У меня есть несколько ссылок в моем ответе на аналогичный вопрос здесь.

Изменить после комментариев:

посмотрите на оценку электронных орбиталей атома водорода в плоскости x, y.

s орбиталей проходят через r=0. (квантовое число нулевого углового момента ). В то же время соответствующая орбиталь протона (не забываем про ядро) будет выглядеть так же, но гораздо, на порядки меньшей размерности. Суммарная вероятность перекрытия мала, а энергии s-состояния недостаточно для образования нейтрона. Таким образом, в случае электрона и протона это может происходить в условиях нейтронной звезды , энергия которой обеспечивается гравитационным полем. Захват электрона действительно происходит с тяжелыми ядрами, где есть доступная энергия для превращения протона в нейтрон с квантово-механической оценкой вероятностей.

Классически это та же самая причина, по которой земля не падает на солнце, а луна на землю. Уравнение движения массы, притягиваемой к центральному аттрактору, есть орбита. Так что физики до квантовой механики не были бы удивлены моделью электронов, вращающихся вокруг положительно заряженного ядра. Теперь даже предположим, что иногда электрон врезался в ядро ​​и превратил протон в нейтрон. Как бы вы узнали, что это произошло? В случае с водородом нейтрон исчезнет, ​​у вас будет на один атом меньше, и останутся только устойчивые водородные орбиты. Так что здесь действует почти антропный принцип: водород стабилен, а то, что не стабильно, не является водородом! Но теперь приходит квантовая теория, и ей лучше предсказать уже наблюдаемое поведение, надеюсь, даже точнее, иначе теория не выжила бы.

Самый простой ответ, который вы, вероятно, знаете, но повторите: электроны не являются функциями Грина своего поля, они являются полем, следовательно, они эволюционируют в соответствии с волновым уравнением, устойчивые базовые решения существуют для случая с центральными потенциалами, и они хорошо известны. Идея бесконечной энергии возникает только тогда, когда вы пытаетесь экстраполировать точечную модель внутри комптоновского радиуса.

Давайте начнем с того, что у вас есть абсолютно правильно, а затем перейдем к решению ваших проблем.

1. Согласно физике 19-го века, то, как объект падает на планету под действием гравитации, с математической точки зрения точно такое же, как падение электрона на атом под действием электрического поля. (при условии, что оба начинают с состояния покоя).

2. Если вы предполагаете точечный источник (т. е. планету в точку или атомное ядро ​​в точку), то вы можете выполнить расчет движения до того, как объект/электрон достигнет центра. Вы обнаружите, что объект достигает центра за конечное время, но за это время он достигает бесконечной скорости, поэтому имеет бесконечную кинетическую энергию. Это не противоречит законам Ньютона - когда вы достигаете центра, сила становится бесконечно большой, поэтому (F = ma) ускорение становится бесконечным, поэтому вполне разумно, что скорость становится бесконечной за конечное время.

3. Теперь для разрешения нам нужно разбить его на два случая. Первая гравитация: здесь решение ясно: любая планета имеет свою массу, распределенную по региону, поэтому объект упадет на поверхность планеты до того, как мы достигнем каких-либо абсурдных бесконечностей.

4. Но теперь к атому. Здесь все намного сложнее. Ядро атома более или менее точечно, и с точки зрения физики 19-го века ничто не может остановить электрон, врезающийся в него на огромной скорости.

5. Я боюсь, что решение этого вопроса не может быть найдено на языке классической физики, который мы здесь используем. Для решения проблемы потребовалась крупнейшая революция в истории физики: квантовая механика. Нет короткого пути, кроме как узнать об этом.

Если ваша проблема связана со словом «бесконечный», ответ прост.

Имеется в виду, что * если бы вы попытались подойти все ближе и ближе к ядру, на расстоянии$r$чем меньше, тем больше потенциальная энергия будет становиться все больше, без верхнего (вернее, поскольку она отрицательна, без нижнего ) предела . Это похоже на$-A/r$с$A$константа, точное значение которой не важно для моего аргумента. Пока$r$не равен нулю, он конечен, но, как вы видите, нет верхнего предела абсолютного значения . Это значение, которое вы должны понимать о слове «бесконечный».

Если вы попытаетесь удержать электрон в объеме все более малого размера$d$Квантовая механика доказывает, что кинетическая энергия частицы неограниченно возрастает. Почему это так требует глубокого понимания квантовой механики, в которое я не хочу вдаваться.

Я только обращаюсь к вашей озабоченности по поводу «бесконечности».

Дело в том, что положительная кинетическая энергия возрастает по мере$B/d^2$. Обратите внимание, что это не кинетическая энергия движения к ядру. Вы должны думать об этом как о «внутренней» кинетической энергии. Сравнение, которое далеко не адекватно, но может дать вам ощущение, похоже на внутреннюю энергию газа, который сжимается до меньшего объема. Эта внутренняя энергия представляет собой сумму кинетической энергии каждой молекулы, а не кинетической энергии глобального движения самого газа.

$A$является классической величиной.$B$является чисто квантовым и поэтому чрезвычайно мал в «классической» ситуации. Рассмотрим электрон, которому позволили упасть на протон с «классического» расстояния. Вы понимаете, что с точки зрения квантовой механики электрон — это «облако», но пока электрон находится далеко от ядра, облако не обязательно должно быть очень плотным, и все оно «чувствует» отрицательную потенциальную энергию.$-A/r$которая все больше и больше возрастает в абсолютном значении. Из-за сохранения энергии эта «углубляющаяся» отрицательная энергия компенсируется возрастающей кинетической энергией. Пока электрон не слишком тугой,$d$не слишком мал, потому что$B$имеет квантовое происхождение, «внутренняя» энергия пренебрежимо мала.

Но электрон не может «чувствовать» бесконечно возрастающую отрицательную потенциальную энергию.$-A/r$пока не$d$становится такого же размера, как$r$.

Для$r$оба достаточно маленькие$-A/r$и$B/d^2$для$d$о размере$r$продолжать увеличиваться до бесконечности, поскольку$r$уменьшается. А второй растет как квадрат$d \approx r$, гораздо быстрее$r$уменьшается.

Однако маленький$B$потому что он квантовый, для достаточно малых (но все же конечных)$r$,$B/d^2$с$d \approx r$будет равна вкладу потенциальной энергии. Вся кинетическая энергия станет «внутренней», кинетической энергией сжатия меньшего размера электронного облака.

И таким образом электрон не может приблизиться к ядру, потому что расход во «внутренней», кинетической энергии сжатия не может быть «позволен» отрицательной потенциальной энергией.

Это чисто качественное описание. Как видите, нет ничего бесконечного.

«Бесконечность» просто означает, что, каким бы малым ни был количественный коэффициент$B$есть, для достаточно малых$r$, этот член будет доминировать, потому что он «уходит в бесконечность», т.к.$B/r^2$быстрее потенциальной энергии,$-A/r$.