энтропия длинной цепочки молекул по отношению к ее длине

Рассмотрим (очень длинную) одномерную цепочку Н молекулы, которые могут находиться в любом из энергетических состояний α или β . Конфигурации имеют длину а или б соответственно.

Покажите, что энтропия цепи относительно длины л цепи

С ( л ) "=" Н п ⁡ Н − н α п ⁡ н α − н β п ⁡ н β
где н α "=" ( л − б Н ) / ( а − б ) это количество молекул в состоянии α и н β "=" ( л − а Н ) / ( б − а ) это количество молекул в состоянии β . (Используйте формулу Стерлингса.)

введите описание изображения здесь

Я уже давно думаю об этом упражнении и не могу совместить длину цепочки и количество микросостояний.

Если мы имеем н α молекулы в состоянии α и н β в состоянии β у нас есть

Ом ( н α , н β , Н ) "=" Н ! н α ! н β !
микросостояния. Но я не знаю, как перейти от этого к энтропии, зависящей от длины всей цепи.

Я предполагаю, что мне нужно только заменить н α и н β выражениями, приведенными выше, но я не очень понимаю, почему они считают количество молекул в состоянии α и β соответственно. Возможно, кто-то может помочь мне с этим? Спасибо!

Полная энергия молекулы должна быть фиксирована. Это означает, что n_alpha и n_beta останутся постоянными. Вы можете легко видеть, что любая длина имеет уникальные n_alpha и n_beta, поэтому энтропию действительно можно рассматривать как функцию L. В общем, если бы были дополнительные состояния gamma, delta и т. д. и n_gamma, n_delta и т. д., эта логика была бы не обязательно работать, вы могли бы иметь, чтобы одна и та же длина могла быть реализована состояниями с разной полной энергией. Итак, в общем случае энтропия для замкнутой системы является функцией энергии, в этом случае вы можете считать ее функцией длины L.
Хорошо спасибо. Ваш ответ действительно помог мне понять, почему можно предположить, что цепь имеет фиксированную длину. Я все удивлялся, почему мы вообще можем предположить, что n_alpha и n_beta — фиксированные числа! Однако я до сих пор не понимаю, почему количество молекул в каждом состоянии можно рассчитать по упомянутым формулам для n_alpha и n_beta.

Ответы (1)

Поскольку у вас есть выражение Ом ваша работа почти завершена. Во-первых, вспомните, что энтропия для микроканонической системы (с фиксированной энергией) при тепловом равновесии определяется очень известной формулой Больцмана:

С "=" к Б л н ( Ом )

Затем просто используйте приближение Стирлинга для оценки л н ( Н ! ) ≈ Н л н ( Н ) − Н (потому что Н >> 1 , то есть очень длинная цепочка). Упростите использование Н "=" н α + н β и это сделано.

Выражать н α и н β как функция л , Напомним, что л "=" н α а + н β б и Н "=" н α + н β (решить систему).

Вау, это намного проще, чем я думал. Я даже не думал ставить условия для н α и н β в линейную систему. Большое спасибо!
энтропия длинной цепочки молекул по отношению к ее длине
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v