Если шарик, вращающийся на стержне, сталкивается с другим шариком, какой сохраняется линейный или угловой импульс?

Рассмотрим следующую схему:

Это показывает массу$m$перемещение за точку$P$по прямой. Обратите внимание, что масса не связана с$P$никак - это просто движение мимо по прямой.

Угловой момент _$m$о$P$дан кем-то:

$$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}$$

Таким образом, направление$\vec{L}$нормальна к экрану, а величина равна:

$$L = rmv \sin\theta \tag{1}$$

и с тех пор:

$$\sin\theta = \frac{d}{r}$$

Подстановка этого в уравнение (1) дает:

$$L = mvd \tag{2}$$

Обратите внимание, что все в уравнении (2) является константой, так что это говорит нам о том, что$L$также является константой, поэтому угловой момент сохраняется, хотя на первый взгляд это не вращающаяся система.

И это дает ответ на ваш вопрос. Несмотря на то, что во втором примере мяч$B$не прикреплен ни к чему, у него все еще есть угловой момент, и этот угловой момент все еще сохраняется.

Ответ на комментарий:

Ваше различие между угловым и линейным импульсом является искусственным. Если вы посмотрите на мою работу выше, частица, очевидно, имеет линейный импульс, но также и угловой момент. Более того, значение углового момента зависит от того, где вы фиксируете точку.$P$поэтому нет уникального значения углового момента.

Когда у вас есть мяч на вращающемся стержне, направление импульса не сохраняется, потому что есть сила, действующая (через стержень), и законы Ньютона говорят, что сила - это скорость изменения количества движения:

$$\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$$

Однако есть теорема (теорема Нётер), которая говорит нам, что угловой момент сохраняется, если сила не зависит от угла. Итак, если мы вычислим угловой момент вокруг точки вращения, мы обнаружим, что эта величина является постоянной. Вот почему это полезно для расчета траекторий.

Но неверно говорить, что линейный импульс шарика, прикрепленного к стержню, равен нулю. В любой момент импульс мяча$A$является$\vec{p} = m\vec{v}$, но направление$\vec{p}$(но не по величине) постоянно меняется со временем из-за силы, прикладываемой шатуном.

Вернемся к вашей проблеме: до столкновения линейный импульс$A$является mv, но его направление постоянно меняется со временем. Однако угловой момент постоянен, потому что сила на$A$является центральным.

При ударе действует сила между$A$и$B$. Эта сила действует нормально к шатунам, т.е. это не центральная сила, поэтому угловые моменты не будут постоянными. Если мы считаем, что столкновение длится мгновение, то единственная действующая сила - это сила между двумя шарами, поэтому общий линейный импульс будет сохраняться. Перед столкновением$p_A = mv$и$L_B = 0$. После столкновения$p_A = 0$и$p_B = mv$, поэтому полный линейный импульс$p_A + p_B$сохраняется.

Сразу после столкновения$B$начинает вращаться вокруг своей оси под действием силы, приложенной шатуном. Сила, приложенная его стержнем, означает направление$p_B$теперь меняется со временем, хотя его величина остается неизменной. Угловой момент$L_B$постоянна, потому что сила, приложенная стержнем, сосредоточена вокруг$B$.

Обратите внимание, что расчет по-прежнему имеет физический смысл.$L_A$- это просто:

$$L_A = \vec{r}_A \times m\vec{v_B}$$

но сила, приложенная к$B$своим стержнем не является центрально симметричным относительно$A$, так$L_A$не является постоянным (и, следовательно, не очень полезным).

Если$B$не соединен с осью вращения, поэтому движется прямолинейно, то на него не действуют никакие силы.$B$. Это означает, что оба$\vec{p}_B$и$\vec{L}_B$вычисленные относительно любой точки, постоянны.

Мяч А имеет линейный импульс, направленный в направлении траектории его полета. Но он не сохраняется, потому что на него действует сила (центростремительная сила), которая не является противовесом (если только вы не укажете, где установлена ​​ось, и не позволите опоре двигаться).

Заметьте, что вы также можете приписать угловой момент B, даже если он не движется по круговой траектории (как объяснил Джон Ренни).