Если уравнения Максвелла связывают поля в одной и той же точке, то как волны могут распространяться между разными точками?

Глядя на материальные волны на струне: пока колебания не слишком велики, мы получаем волновое уравнение для$f(x, t)$:

Ваш вопрос применим к этому уравнению точно так же, как и к уравнениям электричества и магнетизма. Разве оба члена в этом уравнении не относятся только к одной точке? Как возмущения могут распространяться в пространстве, не нарушая локальности?

Суть в том, чтобы вернуться к определению частной производной:

Теперь этот следующий фрагмент будет немного колебаться, поскольку такова природа этого вопроса. Эта частная производная не просто заботится о$f$в точку$(x,t)$. Он также заботится о ценности$f$в крошечном, постоянно сокращающемся районе прямо вокруг$x$. Точно так же производная$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$заботится о сколь угодно малой, но не точечной окрестности вокруг$x$.

Предположим, что мы остановили сжатие этих окрестностей в какой-то момент, так что они имеют размер$\epsilon$. Тогда наша модель ведет себя не как струна, а как набор точечных масс, соединенных пружинами длиной$\epsilon$. Однако, как$\epsilon$достигает 0, такое поведение приближается к поведению действительно непрерывной строки.

Таким образом, краткая версия этого ответа заключается в том, что наличие пространственных производных в вашем PDE позволяет событиям, происходящим в одной точке пространства, влиять на другие точки пространства. Это имеет какое-то отношение к производным, существующим в странной сумеречной зоне, где, с одной стороны, они локальны, а с другой — заботятся об изменении на пространственном расстоянии.

А пространственные производные появляются в уравнениях Максвелла в терминах$\nabla\cdot E$,$\nabla\cdot B$,$\nabla\times E$, и$\nabla\times B$, так что не должно быть большой загадкой, что свет распространяется в пространстве.

Этот ответ является общим, но слишком длинным для комментария.

При моделировании физического поведения с помощью математических функций необходимо четко понимать:

Мы говорим: а) математика создает реальность или б) математика моделирует реальность.

а) платонический взгляд и б) реалистический взгляд.

В соответствии с а) предсказательная сила математики приводит к вопросам, подобным приведенным выше, и на них отвечают другие ответы

В пункте b) никого не удивляет лежащий в основе квантово-механический уровень, который моделируется квантованным уравнением Максвелла , которое в конечном итоге создает уравнения классической электродинамики, поскольку оба зависят от одной и той же математики с различным приложением. Здесь изложено, как классическое описание света возникает из слияния вероятностных фотонов в квантовой теории поля.

Имо, это реалистичный взгляд, который должны иметь физики, используя математику как инструмент моделирования новых данных и задавая вопросы теориям, которые им соответствуют. Так развивалась наука со времен Ньютона.

Грубая аналогия с классической электромагнитной волной:

Если составить карту высохшего русла реки математически, то форму потока воды во время дождя можно предсказать сразу, задолго до того, как вода достигнет излучин. В аналогичном смысле уравнения Максвелла отображают пространство-время, и при заданных начальных условиях (световой луч) «поток» прекрасно предсказуем.

редактировать после комментариев:

Продолжая мою аналогию с картой, карта статична . Это потому, что время является параметром и не входит в функции, описывающие карту, которая может быть очень точной и использоваться для прогнозирования движения по ней, это контекст для потока.

Уравнения Максвелла представляют собой четырехмерную карту. Статика не имеет значения в четырех измерениях, потому что время — одно из измерений. При заданных начальных условиях существует полное решение. Возможность предсказания во времени заключается в том, что человек имеет дело со временем и пространством отдельно. но решение для заданных граничных условий единственно в четырехмерном пространстве-времени .

Лежащий в основе квантово-механический уровень фотонов также объясняет, почему E и B могут быть равны нулю в одной и той же точке пространства-времени. Что происходит с энергией?

Электромагнитные волны можно представить как самораспространяющиеся поперечные колебательные волны электрического и магнитного полей. Эта трехмерная анимация показывает плоскую волну с линейной поляризацией, распространяющуюся слева направо. Обратите внимание, что электрическое и магнитное поля в такой волне находятся в фазе друг с другом, одновременно достигая минимума и максимума.

Суперпозиция миллионов фотонов, составляющих классическую волну, также дает волновую функцию для всего пучка. Нули означают, что существует нулевая вероятность существования фотона в тех точках, где и E, и B равны нулю, поэтому сохранение энергии может осуществляться во всех точках пространства-времени.

Вы (грубо говоря) правы в том, что «для того, чтобы достичь распространения E˙ или B˙ в одном месте, необходимо, чтобы они были способны индуцировать B˙ или E˙ в другом месте». Это видно непосредственно из уравнений Максвелла.

Закон Фарадея говорит$\nabla \times E = -\dot B$. Обратите внимание, что завиток — это производная по пространству, а точка — производная по времени. Таким образом, поле B, изменяющееся во времени, дает поле E, изменяющееся в пространстве. Это вводит связанные изменения во времени и пространстве.

Аналогично с законом Ампера.

Отвечая на мой собственный вопрос? Ну да; Мой взгляд развился.

Мысленный эксперимент; волна вещества, не распространяющаяся в среде.

Рассмотрим пушку в вакууме, совершающую синусоидальные колебания перпендикулярно оси, вдоль которой она многократно стреляет. Пули образуют синусоиду в пространстве. Волна движется сквозь пространство. Существует связь между каждым элементом волны и следующим. Это волна типа «А».

Хотя это волна материи, она является волной без среды и отличается от волны, распространяющейся через среду, такой как звуковая волна, волна на море или волна на струне. Это примеры волны типа «В».

Я понимаю, что свет подобен волне "А" (вверху), это статичная сущность, движущаяся в пространстве, форма которой была определена в точке зарождения. Любая связь между волновыми свойствами в двух точках является следствием механизма, который использовался для ее генерации, а не ограничением свободного пространства.

В волнах материи через среду ? (волна «B») на форму волны влияет механика генерации, но в конечном итоге по мере ее распространения свойства среды будут доминировать и ухудшать форму волны до синусоидальной.

Возможно, это то, что я все время упускал, а именно то, что в описанном выше смысле сами «векторы поля», подобно материи, движутся в пространстве.