Есть ли что-то похожее на теорему Нётер для дискретных симметрий?

Для непрерывных глобальных симметрий теорема Нётер дает локально сохраняющуюся плотность заряда (и связанный с ней ток), интеграл которой сохраняется по всему пространству (т.е. не зависит от времени).

Для глобальных дискретных симметрий необходимо различать случаи, когда сохраняющийся заряд является непрерывным или дискретным. Для бесконечных симметрий, таких как сдвиги решетки, сохраняющаяся величина является непрерывной, хотя и периодической. Так что в таком случае импульс сохраняется по модулю векторов в обратной решетке. Сохранение локально, как и в случае непрерывных симметрий.

В случае конечной группы симметрии сохраняющаяся величина сама дискретна. Тогда у вас не будет локальных законов сохранения, потому что сохраняемая величина не может непрерывно изменяться в пространстве. Тем не менее, для таких симметрий у вас все еще есть сохраняющийся заряд, который дает ограничения (правила выбора) на разрешенные процессы. Например, для инвариантных по четности теорий вы можете дать каждому состоянию частицы «четный заряд», который является просто знаком, и общий заряд должен сохраняться для любого процесса, иначе амплитуда для него равна нулю.

В одном предложении первая теорема Нётер утверждает, что непрерывная глобальная симметрия действия вне оболочки$S$следует локальный закон сохранения на оболочке. Под словами « на оболочке» и « вне оболочки » подразумевается, удовлетворяются ли уравнения движения Эйлера-Лагранжа или нет.

Теперь возникает вопрос, можно ли непрерывное заменить дискретным?

Следует сразу подчеркнуть, что теорема Нётер — это машина, которая для каждого входа в виде соответствующей симметрии производит выход в виде закона сохранения. Чтобы утверждать, что теорема Нётер позади, недостаточно просто перечислить пару пар (симметрия, закон сохранения).

Итак, где же может жить дискретная версия теоремы Нётер? Лучше всего делать ставку на дискретный решетчатый мир, если вместо дифференцирования использовать конечные разности. Давайте исследуем ситуацию.

Наша интуитивная идея заключается в том, что конечные симметрии, например симметрия обращения времени и т. д., не могут использоваться в теореме Нётер в решетчатом мире, потому что они не работают в непрерывном мире. Вместо этого мы связываем наши надежды с тем, что можно использовать дискретные бесконечные симметрии, которые становятся непрерывными симметриями, когда интервалы решетки стремятся к нулю.

Представьте для простоты одномерную точечную частицу, которая может находиться только в дискретных положениях.$q_t\in\mathbb{Z}a$на одномерной решетке$\mathbb{Z}a$с шагом решетки$a$, и в тот раз$t\in\mathbb{Z}$также является дискретным. (Это было, например, изучено в JC Baez и JM Gilliam, Lett. Math. Phys. 31 (1994) 205; кончик шляпы: Эдвард.) Скорость есть конечная разность

и тоже дискретный. Действие$S$является

с лагранжианом$L_t$на форме

Определить импульс$p_{t+\frac{1}{2}}$в качестве

Наивно, действие$S$должны быть экстремированы по отношению. соседние виртуальные дискретные пути$q:\mathbb{Z} \to\mathbb{Z}a$найти уравнение движения. Однако выделить таким образом дискретное уравнение Эйлера-Лагранжа не представляется возможным, в основном потому, что недостаточно разложить Тейлора до первого порядка по вариации$\Delta q$когда вариация$\Delta q\in\mathbb{Z}a$не является бесконечно малым. В этот момент мы поднимаем руки вверх и объявляем , что виртуальный путь$q+\Delta q$(в отличие от стационарного пути$q$) не обязательно должен лежать в решетке, но может принимать непрерывные значения в$\mathbb{R}$. Теперь мы можем выполнить бесконечно малую вариацию, не беспокоясь о вкладах более высокого порядка.

Обратите внимание, что последняя сумма является телескопической. Отсюда следует (с подходящими граничными условиями) дискретное уравнение Эйлера-Лагранжа

Это уравнение эволюции. На данный момент не ясно, будет ли решение для$q:\mathbb{Z}\to\mathbb{R}$останется на решетке$\mathbb{Z}a$если мы укажем два начальных значения на решетке. С этого момента мы будем ограничивать наши рассмотрения такими системами для непротиворечивости.

В качестве примера можно представить, что$q_t$является циклической переменной, т. е. что$L_t$не зависит от$q_t$. Таким образом, мы имеем дискретную глобальную трансляционную симметрию$\Delta q_t=a$. Нётеровый ток - это импульс$p_{t+\frac{1}{2}}$, а закон сохранения Нётер - это импульс$p_{t+\frac{1}{2}}$сохраняется. Это, конечно, приятное наблюдение. Но это не обязательно означает, что теорема Нётер позади.

Представим, что враг дал нам глобальную вертикальную симметрию$\Delta q_t = Y(q_t)\in\mathbb{Z}a$, куда$Y$является произвольной функцией. (Слова вертикальный и горизонтальный относятся к переводу в$q$направление и$t$направление соответственно. Для простоты мы не будем обсуждать симметрии с горизонтальными компонентами.) Очевидным кандидатом на голый нётеровский ток является

Но вряд ли мы сможем доказать, что$j_t$сохраняется только из-за симметрии$0=S[q+\Delta q] - S[q]$, что теперь неизбежно будет включать вклады более высокого порядка. Так что, хотя мы и останавливаемся перед объявлением запретной теоремы, она определенно не выглядит многообещающей.

Может быть, мы добьемся большего успеха, если только дискретизируем время, а координатное пространство оставим непрерывным? Я мог бы вернуться с обновлением об этом в будущем.

Пример из непрерывного мира, который полезно иметь в виду: рассмотрим простой гравитационный маятник с лагранжианом

Он имеет глобальную дискретную периодическую симметрию$\varphi\to\varphi+2\pi$, но (угловой) импульс$p_{\varphi}:=\frac{\partial L}{\partial\dot{\varphi}}= m\ell^2\dot{\varphi}$не сохраняется, если$g\neq 0$.

Вы упомянули кристаллические симметрии. Кристаллы обладают дискретной трансляционной инвариантностью: они не инвариантны относительно бесконечно малого переноса, но инвариантны относительно переноса на вектор решетки. Результатом этого является сохранение импульса вплоть до вектора обратной решетки .

Имеется дополнительный результат: предположим, что сам гамильтониан не зависит от времени, и предположим, что симметрия связана с оператором$\hat S$. Примером может служить оператор четности$\hat P|x\rangle = |-x\rangle$. Если этот оператор является симметрией, то$[H,P] = 0$. Но поскольку коммутатор оператора с гамильтонианом также дает вам производную, у вас есть$\dot P = 0$.

На самом деле существуют аналогии или обобщения результатов, которые в обычных случаях сводятся к теоремам Нётер и которые справедливы для дискретных (и не обязательно дискретных ) симметрий (включая СРТ-подобные симметрии ) .

Например, см.: Anthony CL Ashton (2008) Законы сохранения и нелиевские симметрии для линейных УЧП, Journal of Nonlinear Mathematical Physics, 15:3, 316-332, DOI: 10.2991/jnmp.2008.15.3.5

Аннотация Мы вводим метод построения законов сохранения для большого класса линейных дифференциальных уравнений в частных производных. В отличие от классического результата Нётер, сохраняющиеся токи порождаются любой симметрией оператора, в том числе и нелиева типа. Явный пример сделан с уравнением Дирака, где мы использовали нашу конструкцию, чтобы найти класс законов сохранения, связанных с 64-мерной алгеброй Ли дискретных симметрий, которая включает СРТ.

Следующим путем является последовательное ослабление условий теоремы Нётер о непрерывных (лиевых) симметриях, которые обобщают результат на другие случаи.

Например (сверху), акцент, дополнения мои:

Связь между симметрией и законами сохранения была присуща всей математической физике с тех пор, как Эмми Нётер опубликовала в 1918 году свою чрезвычайно влиятельную работу, связывающую эти два явления. ..[M] любой выдвинул подходы к изучению законов сохранения с помощью различных средств. В каждом случае закон сохранения определяется следующим образом.

Определение 1. Пусть$\Delta[u] = 0$представлять собой систему уравнений, зависящую от независимых переменных$x = (x_1, \dots , x_n)$, зависимые переменные$u = (u_1, \dots , u_m)$и их производные. Тогда закон сохранения для$\Delta$определяется некоторыми$P = P[u]$так что:

$${\operatorname{Div} P \; \Big|}_{\Delta=0} = 0 \tag{1.1}$$

куда$[u]$обозначает координаты на$N$-ая струя$u$, с$N$произвольный.

[Исходная] теорема Нётер применима в [частном] случае, когда$\Delta[u] = 0$возникает как уравнение Эйлера-Лагранжа к соответствующей вариационной задаче. Хорошо известно, что УЧП имеет вариационную формулировку тогда и только тогда, когда она имеет самосопряженную производную Фреше . То есть: если система уравнений$\Delta[u] = 0$таков, что$D_{\Delta} = {D_{\Delta}}^*$то применим следующий результат.

Теорема (Нётер). Для невырожденной вариационной задачи с$L[u] = \int_{\Omega} \mathfrak{L} dx$, соответствие между нетривиальными классами эквивалентности вариационных симметрий$L[u]$и нетривиальные классы эквивалентности законов сохранения взаимно однозначны.

[..] Учитывая, что [общий набор симметрий] намного больше, чем рассмотренные в классической работе Нётер, потенциально существует еще более сильное соответствие между симметрией и законами сохранения для УЧП[..]

Определение 2. Будем говорить, что оператор$\Gamma$является симметрией линейного УЧП$\Delta[u] \equiv L[u] = 0$если существует оператор$\alpha_{\Gamma}$так что:

$$[L, \Gamma] = \alpha_{\Gamma} L$$ куда $[\cdot, \cdot]$обозначает коммутатор композицией операторов, поэтому $L \Gamma = L \circ \Gamma$. Обозначим множество всех таких симметрий через $sym(\Delta)$.

Следствие 1. Если$L$является самосопряженным или кососопряженным, то каждый$\Gamma \in sym(L)$порождает закон сохранения.

В частности, для уравнения Дирака и СРТ -симметрии выводится следующий закон сохранения ( там же ):

Отрезвляющие мысли:

Законы сохранения , по правде говоря , не связаны ни с какой симметрией . Для механической системы с N степенями свободы всегда N сохраняющихся величин. Это сложные комбинации динамических переменных. Их существование обеспечивается наличием решений задачи.

При наличии симметрии сохраняющиеся величины приобретают более простой вид.

РЕДАКТИРОВАТЬ: я не знаю, как они учат вас, но законы сохранения не связаны с теоремой Нётер. Последний просто показывает, как построить некоторые из сохраняющихся величин из лагранжиана задачи и решений задачи. Любая комбинация сохраняющихся величин также является сохраняемой величиной. Так что то, что дает Нётер, вовсе не уникально.

Нет, потому что дискретные симметрии не имеют инфинитезимальной формы, которая привела бы к (характеристике) закона сохранения. См. также эту статью для более подробного обсуждения.

Как было сказано ранее, это зависит от того, какая у вас «дискретная» симметрия: если у вас есть истинная дискретная симметрия, как, например,$\mathbb{Z}_n$, то ответ будет отрицательным в контексте теоремы (теорем) Нётера — даже несмотря на то, что есть выводы, которые вы можете сделать, как объяснил Моше Р ..

Однако, если вы говорите о дискретизированной симметрии, т. е. о непрерывной симметрии (глобальной или локальной), которая была каким-то образом дискретизирована, то у вас есть аналог теоремы (теорем) Нетера в стиле исчисления Редже. Хорошим введением в некоторые из этих концепций является « Дискретные дифференциальные формы», «Калибровочная теория» и «Исчисление Редже» (PDF) : суть в том, что вам нужно найти схему конечных разностей, которая сохраняет вашу дифференциальную (и/или калибровочную) структуру.

Существует большая литература по конечно-разностным схемам для дифференциальных уравнений (обыкновенных и частных).

Может быть,

http://www.technologyreview.com/blog/arxiv/26580/

Я ни в коем случае не эксперт, но я прочитал это несколько недель назад. В этой статье рассматривается двумерная решетка и строится энергетический аналог. Они показывают, что она ведет себя так, как должна вести себя энергия, а затем заключают, что для сохранения этой энергии пространство-время должно быть инвариантным.

Видеть:

• Джон Дэвид Логан, « Первые интегралы в дискретном вариационном исчислении », Æquationes Mathematicæ 9, no. 2 (1 июня 1973 г.): 210–20. DOI: 10.1007/BF01832628 .

  Цель этой статьи — показать, что первые интегралы дискретного уравнения Эйлера могут быть явно определены путем исследования свойств инвариантности дискретного лагранжиана. Полученный результат является дискретным аналогом классической теоремы Э. Нётер в вариационном исчислении.

Если мы можем встроить некоторую дискретную симметрию, такую ​​как$\mathbb{Z}/N$через вложение к непрерывной симметрии$U(1)$, то мы можем сначала вывести теорему Нётер для непрерывной симметрии$U(1)$. Далее мы можем найти дискретизированную сохраняемую версию тока Нётер, которая должна сохраняться со значениями по модулю.$N$.

Будет интересно узнать, применима ли эта мысль к дискретной неабелевой симметрии путем вложения в неабелеву непрерывную группу симметрии, и повторить ту же процедуру еще раз.

Сохранение электрического заряда — это «дискретная» симметрия. Кварки и антикварки имеют дискретные дробные электрические заряды (±1/3, ±2/3) электроны, позитроны и протоны имеют целые заряды.