Существует ли разумный полностью дискретизированный принцип Гамильтона?

В вычислительной физике принято формулировать принцип Гамильтона полудискретным способом, где пространство непрерывно, а время дискретно: другими словами, лагранжиан

л ( д , д ˙ , т ) : р н × р н × Z → р
становится функцией двух вещественных и одной целочисленной переменной. Наложение принципа экстремального действия Гамильтона приводит к особенно хорошим уравнениям эволюции дискретного времени, которые автоматически подчиняются дискретной теореме Нётер, сохраняют симплектическую структуру и т. д.

Есть ли какой-нибудь разумный способ подтолкнуть вышеупомянутую идею к обстановке, где л чисто дискретный? то есть,

л : Z 3 × Z 3 × Z → Z
где положение, масса, скорость, время и потенциальная энергия являются целыми величинами?

Как будут выглядеть уравнения Эйлера-Лагранжа? Оптимальность действия первого порядка выглядит совсем по-другому, поскольку больше нет непрерывной производной, которую можно положить равной нулю, но я думаю, что можно записать системы неравенств, которые кодируют тот факт, что действие (дискретно) экстремально. Получаете ли вы от них какую-либо разумную эволюцию времени? Есть ли эквивалент теоремы Нётер в этой ситуации?

Ответы (1)

Комментарии к вопросу (v2):

  1. Часто можно сформулировать (дискретные) уравнения эволюции во времени/уравнения движения (eoms) в дискретной теории. Это, конечно, полезно в вычислительной физике. Однако ОП требует вариационного принципа действия для полностью дискретизированной теории. Поэтому мы не будем далее обсуждать случай, когда эомы (без вариационного принципа) составляют первый принцип теории.

  2. В менее амбициозной схеме мы просто должны проверить, что при выполнении некоторых условий вариация некоторого действия равна нулю. (Другими словами, действие имеет стационарную точку.) Это возможно в некоторых случаях, но это противоречит духу формулировки вне оболочки, и мы не будем обсуждать это дальше в этом ответе.

  3. В самой амбициозной схеме предполагается вывести дискретную версию уравнений Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) (ЭУ) из вариационного принципа действия. Вот это нас и будет интересовать.

  4. Горизонтальная дискретизация (например, дискретизация временной переменной т в точечной механике и пространственно-временных переменных Икс мю в теории поля) не является проблемой, как упоминает ОП, см., например, этот пост Phys.SE и ссылки в нем.

  5. Проблема заключается в вертикальной дискретизации, т.е. дискретизации в целевом пространстве для динамических активных переменных теории (скажем, д в точечной механике). В дальнейшем мы будем обсуждать только этот последний случай.

  6. Можно еще постулировать принцип наименьшего действия , но непонятно, как получить (условия) вариационную производную, если д переменная принимает только дискретные значения.

  7. В некоторых случаях будет естественный кандидат на замену уравнения Эйлера-Лагранжа , ср. пт. 2, но неясно, как это могло быть выведено из вышеупомянутого принципа наименьшего действия только в духе pt. 3. Мы останавливаемся перед тем, чтобы провозгласить теорему о запрете, но она определенно не выглядит многообещающей.

  8. Теорема Нётер для дискретных симметрий обсуждалась, например, в этом посте Phys.SE, который также проливает свет на некоторые трудности в формулировке вариационного принципа с вертикальной дискретизацией.

Существует ли разумный полностью дискретизированный принцип Гамильтона?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v