Связь между динамической алгеброй и группой симметрии

В полной общей структуре, возможно, как вы знаете, вы можете определить гамильтонову систему как динамическую систему, векторное поле которой имеет следующий вид:

$$[X_{H}(x)]_{i}= \{x_{i},H\}$$ где $$x=(q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n})=(q,p)$$ является вектором фазового пространства $\Gamma$(это практически всегда гильбертово пространство), $\{ ; \}$является скобкой Пуассона, удовлетворяющей обычным свойствам и $H=H(x)$— гамильтониан системы, заданной на фазовом пространстве. Действительно важным объектом, который можно определить, является так называемый тензор Пуассона, определяемый как: $$J_{jk} = \{x_{j},x_{k}\}$$ Заметим, что из этого определения очевидно, что $J$обладает тем же свойством косой симметрии, что и скобки Пуассона: это фундаментально для переопределения формулировки любой гамильтоновой системы в терминах $J$. На этом этапе, не вдаваясь в подробности, можно развить то, что написано выше, переопределив скобки Пуассона в терминах тензора Пуассона, и таким образом можно написать полную общую форму уравнения Гамильтона ЛЮБОЙ гамильтоновой системы: $$\dot{x} =J(x)\nabla_{x}H(x)$$ где $J$— тензор Пуассона, а обозначение $\nabla_{x}$означает, что градиент действует на вектор фазового пространства $x$. Вы можете сделать ЛЮБОЕ изменение переменной $x \rightarrow y=f(x)$что вы хотите, но вы НИКОГДА не потеряете гамильтоновых свойств вашей системы (т.е. свойств скобки Пуассона). Это действительно важно и означает, что если система является гамильтоновой, в соответствии с приведенными выше определениями, она останется гамильтоновой НЕЗАВИСИМО от координаты, выбранной для ее описания.

Понятие тензора Пуассона также важно для характеристики набора инвариантов Казимира (т. е. группы симметрии) данной гамильтоновой системы: Инвариант Казимира$C(x)$— функция, определенная на фазовом пространстве, такая, что:

$$J(x)\nabla C(x)=0$$ другими словами, это функция, которая имеет градиент, который находится в ядре тензора Пуассона. Эти функции описывают инвариантность вашей системы. Главный момент (который, я надеюсь, может ответить на ваш вопрос) легко понять только из определения инварианта Казимира и заключается в том, что ЛЮБАЯ гамильтонова система, описываемая одним и тем же тензором Пуассона, имеет одни и те же инварианты Казимира (т.е. симметрия)! Неверно то, как вы задаете свой вопрос, потому что каждая гамильтонова система имеет четко определенную алгебру функций. $A(\Gamma)$билинейным произведением которого является скобка Пуассона, удовлетворяющая обычным известным вам свойствам: если невозможно определить скобку Пуассона, у вас не может быть никакой гамильтоновой системы. То, о чем вы просите, не имеет смысла, потому что определение классической гамильтоновой алгебры действительно общее и, повторяю, четко определенное в любом случае. Другими словами, гамильтонова алгебра, определенная на фазовом пространстве, не считается, если вы говорите об инвариантности и симметрии гамильтоновой системы, но, как я писал вам выше, основным инструментом для характеристики этого факта является тензор Пуассона системы: тот же тензор Пуассона -> тот же Казимир (симметрии)