Наблюдаемые не коммутируют, если их нельзя одновременно диагонализовать, т. е. если они не имеют общего базиса собственных векторов. Если вы правильно посмотрите на это условие, результирующий принцип неопределенности станет очень интуитивным.

В качестве примера рассмотрим двумерное гильбертово пространство, описывающее поляризацию фотона, движущегося вдоль$z$ось. Его поляризация представляет собой вектор в$xy$самолет.

Позволять$A$— оператор, определяющий, поляризован ли фотон вдоль$x$оси или$y$оси, присвоив значение 0 первому параметру и 1 второму. Вы можете измерить$A$с помощью простого поляризационного фильтра, а его матричные элементы

Теперь пусть$B$— оператор, определяющий, является ли фотон$+$поляризованный (т.е. поляризованный юго-запад/северо-восток) или$-$polarized (поляризованный юго-восток/северо-запад), присвоив им значения 0 и 1 соответственно. затем

Операторы$A$а также$B$не коммутируют, поэтому они не могут быть одновременно диагонализированы и, таким образом, подчиняются принципу неопределенности. И сразу видно почему из геометрии:$A$а также$B$выбирают разные наборы направлений. Если бы у вас было определенное значение$A$, вы должны быть либо$x$или же$y$поляризованный. Если бы у вас было определенное значение$B$, вы должны быть$+$или же$-$поляризованный. Быть и тем, и другим одновременно невозможно.

Или, если вы перефразируете вещи с точки зрения направлений по компасу, вопросы «вы движетесь на север или восток» и «вы движетесь на северо-восток или юго-восток» не имеют одновременно четко определенных ответов. Это не означает, что компасы неверны или неполны, или что наблюдение за компасом «мешает ориентации». Это просто разные направления .

Позиция и импульс точно такие же. Собственное состояние положения резко локализовано, в то время как собственное состояние импульса имеет бесконечную пространственную протяженность. Думая о гильбертовом пространстве как о векторном пространстве, они просто выбирают разные направления; ни один вектор не является собственным вектором обоих одновременно.

Некоммутирующие наблюдаемые означают, что так называемое измерение способно изменить состояние системы.

Например, когда есть две наблюдаемые A и B, которые не коммутируют, существует собственный вектор A, который не является собственным вектором B.

Когда вы взаимодействуете с А, затем А, а затем Б, два результата взаимодействия А всегда согласуются друг с другом. Это означает, что А-взаимодействие всегда оставляет его в особом состоянии, которое дает определенные определенные результаты для А-взаимодействия (тот же конкретный результат, что и первое).

Но когда это состояние не может быть собственным вектором B (и некоторый собственный вектор одного не может быть собственным вектором другого, если они не коммутируют), тогда взаимодействие с A, затем B, затем A может дать два разных результата для взаимодействий A.

Это окончательно доказывает, что взаимодействие с В — это не пассивное раскрытие ранее существовавшей информации, а взаимодействие, которое может изменить рассматриваемое состояние.

В частности, он может изменить состояние с того, которое дает конкретный фиксированный результат для взаимодействия с А, на состояние, способное давать другой результат для взаимодействия с А.

Можно установить связь с тем фактом, что точное физическое состояние произвольной физической системы, занимающей конечный объем, может быть задано лишь конечным объемом информации. Если вы считаете некоторые наблюдаемые, то собственные состояния могут быть вырожденными, тогда вам понадобится еще одна наблюдаемая коммутация с первой, чтобы снять это вырождение, если вы продолжите в том же духе, вы в конечном итоге получите полный набор коммутирующих наблюдаемых. Поскольку для определения состояния системы требуется только конечное количество информации, это означает, что этот набор будет конечным. Тогда гарантируется, что вы можете найти наблюдаемые, которые не принадлежат этому набору.

В классическом пределе все наблюдаемые коммутируют. В этом пределе число различимых физических состояний, приходящихся на единицу фазовой фазы, стремится к бесконечности.

Классическая механика может быть выражена в аналитической форме с точки зрения положения и «сопряженного импульса», термина из лагранжевой механики. Эта пара дает нам переменные P, Q гамильтоновой механики; когда любая такая пара квантуется, вы обнаружите, что они не коммутируют. Квантовый коммутатор «наследует» это поведение от классических скобок Пуассона.

Таким образом, это дает некоторую физическую основу для вашего вопроса; лагранжиан в конечном итоге выводится из законов движения Ньютона через принцип наименьшего действия, вариационный принцип.

Да, есть фундаментальная причина, по которой некоторые наблюдаемые не коммутируют. Некоторые из них являются некоммутирующими генераторами группы. Например, угловой момент$J_x,J_y,J_z$являются наблюдаемыми. Они также являются генераторами вращений в группе вращений. Вращая карандаш пальцами, можно убедиться, что$Rot_xRot_y$а также$Rot_yRot_x$не дают той же ориентации карандаша. Вращения не коммутируют, и, рассматривая небольшие вращения, вы выводите коммутационные соотношения$[J_k,J_l]=i\epsilon_{klm}J_m$.

Вы говорите, что

Это приводит к проблеме отсутствия определенного значения некоторой величины в некоторых состояниях.

но что это за проблема? Это не проблема расхождения между теорией и экспериментом. На самом деле, как я доберусь, все наоборот! Если наблюдаемые коммутируют, мы не можем строить теории, согласующиеся с экспериментом. Так что проблема здесь в том, что психологически или философски это сложно принять, но так оно и есть, и если вам это не нравится, вы должны найти другую вселенную, где правила проще ...

Можно утверждать, что неравенства Белла и эксперименты GHZ показывают, что за некоммутирующими наблюдаемыми на самом деле ничего нет. Теория, построенная только на коммутирующих наблюдаемых, просто не может дать правильного предсказания для эксперимента GHZ, но QM делает это (тоже очень легко). Таким образом, некоммутирующие наблюдаемые кажутся фундаментальной частью того, как работает наша Вселенная.

Что бы вы ни предложили, «на самом деле» квантовая механика должна делать те же предсказания, что и квантовая механика, относительно результатов эксперимента Белла или ГХЦ, потому что мы провели эти эксперименты и нашли результат, предсказанный КМ. Это исключает, что если за квантовой механикой что-то стоит, то все ее наблюдаемые коммутируют.

Вселенная выглядит квантово-механической, потому что она квантово -механическая.

(В приведенном выше есть лазейка: мы могли бы допустить сигналы со скоростью, превышающей скорость света, и тогда могли бы быть скрытые переменные. Но это действительно беспокоит физиков в том смысле, что некоммутирующие наблюдаемые не беспокоят, потому что, если мы допустим более быстрые... по словам Эйнштейна, мы должны позволить условиям будущего влиять на то, что происходит в настоящем. Это означает, что я больше не могу доверять своим экспериментам, потому что кто-то из будущего может в них вмешиваться. мы должны принять только предсказание вероятностей в экспериментах, но это намного лучше, чем отбрасывать все эксперименты, потому что ваш соперник из будущего может их саботировать.)

Я хотел бы немного расширить немного неверное утверждение в начале исходного сообщения, которое было указано в комментариях:

ОП: Если эти наблюдаемые не коммутируют, то нет одновременной базы собственных векторов каждого из них. В этом случае, вообще если$|\phi \rangle$является собственным вектором$A$это не будет$B$. (курсив$\rightarrow$неверное утверждение)

Комментарий (WillO): Вы говорите, что если наблюдаемые не коммутируют, то у них не может быть общих собственных векторов. Это неправда.

Чтобы привести простейший конкретный пример, предположим, что наше гильбертово пространство конечномерно и$A$а также$B$являются некоммутирующими наблюдаемыми (матрицами). Рассмотрим эти два «расширенных» оператора в аналогично «расширенном» гильбертовом пространстве:

Четко$A'$а также$B'$также не коммутируют, но имеют общий собственный вектор$v=(\,0 \,\,1 \,)^{\text{T}}$из-за блока$1$в каждом из своих углов.

Мораль этой истории заключается в том, что некоммутирующие наблюдаемые подразумевают только первое предложение OP, а не второе, которое я выделил курсивом (см. Выше). Некоммутирующие наблюдаемые подразумевают, что они не могут иметь общий собственный базис.

Редактировать

Я был неправ в том, что утверждение слегка неверно (см. комментарии @Kostya ниже). Первоначально предполагаемое значение ОП (именно так я также сначала понял это, и которое, как я знаю, на самом деле было предполагаемым значением ОП из-за их последующих комментариев) было неверным, но то, как оно было сформулировано, фактически сводило на нет проблему, приводящую к технически верное утверждение. В общем случае собственный вектор одной матрицы$A$не будет собственным вектором другой матрицы$B$когда$[A,B]\neq 0$. Может быть несколько собственных векторов$A$вместе с$B$(как я изначально указал), но не все будет общим.