От неопределенности к коммутационным соотношениям

Рассмотрим знаменитую задачу измерения положения и импульса электрона. Мы начинаем с двух фотографий в разное время, затем беспокоимся об импульсе фотона, длине волны света, апертуре камеры и т. д. Мы заканчиваем классическими соотношениями неопределенностей; ну на самом деле немного больше: у нас есть представление о признаках ошибок (например, мы знаем, с какой стороны электрон столкнулся с фотоном).

Теперь предположим, что у нас есть представление о том, что измерения производятся с помощью НЕКОТОРЫХ операторов (не обязательно стандартных) в гильбертовом пространстве. Можем ли мы вывести что-то вроде канонических коммутационных соотношений между операторами положения и импульса? Другими словами, является ли импликация между коммутацией и порядком измерения только односторонней (соотношения коммутации согласуются с измерениями), или мы можем дать ограниченную импликацию другим способом?

Интерес вызывают новые квантовые системы — если есть представление о том, как работает теория измерения, то является ли это каким-то руководством по алгебре наблюдаемых? (Также как общий исторический или философский интерес в том, могла ли квантовая теория сделать еще один поворот, используя другие операторные представления.)

ну можно вывести Δ А ⋅ Δ Б ≥ 1 2 ⟨ [ А , Б ] ⟩ из предположения, что измерение соответствует средним значениям операторов в гильбертовом пространстве. Следовательно, если ваша «теория измерений» говорит вам, что произведение неопределенностей чем-то ограничено, вы получите некоторую информацию о коммутаторе. Обратите внимание, что это должно выполняться для всех возможных измерений всех возможных волновых функций (левая часть неравенства зависит от волновой функции!).
Спасибо - это выглядит интересно. Откуда неравенство? Я думаю, что это может быть пределом того, что можно сделать в целом.
Связано: physics.stackexchange.com/q/43821/2451 Для противоположного пути: коммутационные соотношения ⇒ неопределенность, см. physics.stackexchange.com/q/10362/2451 , physics.stackexchange.com/q/24116/2451 и ссылки в них.
Эти примечания объясняют вашу проблему во всех деталях (они доказывают Δ А Δ Б ≤ 1 / 2 ⟨ [ А , Б ] ⟩ damtp.cam.ac.uk/user/eal40/teach/QM2012/7comm.pdf Доказательство начинается с уравнения 331. Удачи. думаю, что они Тонга)

Ответы (1)

Принцип неопределенности между двумя наблюдаемыми связан с их коммутатором в общем и глубоком смысле. Обобщенный принцип неопределенности можно доказать в общем виде, используя простую матричную алгебру и неравенство Коши-Шварца:

I) Предположим, у нас есть два эрмитовых оператора (они же наблюдаемые) А ^ и Б ^ . Возможными результатами измерения являются их собственные значения, а дисперсия измерения равна:

( Δ А ^ ) 2 "=" ⟨ А ^ 2 ⟩ − ⟨ А ^ ⟩ 2

Мы всегда можем выбрать новую систему отсчета для установки < А ^ >= 0 так что мы получаем:

( Δ А ^ ) 2 "=" ⟨ А ^ 2 ⟩ "=" ∫ ψ * А ^ 2 ψ г Икс "=" ⟨ ψ | А ^ 2 | ψ ⟩

И, очевидно, то же самое относится и к Б ^ .

II) Используя неравенство Коши-Шварца:

⟨ ψ | А ^ А ^ | ψ ⟩ ⟨ ψ | Б ^ Б ^ | ψ ⟩ ⩾ | ⟨ ψ | А ^ Б ^ | ψ ⟩ | 2

Можно сразу получить:

( Δ А ^ ) 2 ( Δ Б ^ ) 2 ⩾ | ⟨ ψ | А ^ Б ^ | ψ ⟩ | 2

III) Теперь мы можем уменьшить член справа

| ⟨ ψ | А ^ Б ^ | ψ ⟩ | ⩾ | я м [ ⟨ ψ | А ^ Б ^ | ψ ⟩ ] "=" | 1 2 я [ ⟨ ψ | А ^ Б ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | А ^ Б ^ | ψ ⟩ * ] |

Где я использовал, что модуль комплексного числа больше, чем его мнимая часть, а затем я использовал тот факт, что если ф "=" р е ( ф ) + я я м ( ф ) затем я м ( ф ) "=" 1 2 я ( ф − ф * ) .

IV) Потому что А ^ и Б ^ являются наблюдаемыми тогда ⟨ ψ | А ^ Б ^ | ψ ⟩ * "=" ⟨ ψ | ( А ^ Б ^ ) † | ψ ⟩ "=" ⟨ ψ | ( Б ^ А ^ ) | ψ ⟩

V) Наконец, используя этот результат, мы можем переписать неравенство в виде:

( Δ А ^ ) 2 ( Δ Б ^ ) 2 ⩾ | 1 2 я [ ⟨ ψ | А ^ Б ^ | ψ ⟩ − ⟨ ψ | Б ^ А ^ | ψ ⟩ ] | "=" | 1 2 я [ ⟨ А ^ Б ^ ⟩ − ⟨ Б ^ А ^ ⟩ ] | "=" | 1 2 я ⟨ [ А ^ , Б ^ ] ⟩ |

Таким образом, дисперсия любых двух эрмитовых операторов связана с их коммутатором

( Δ А ^ ) 2 ( Δ Б ^ ) 2 ⩾ | 1 2 я ⟨ [ А ^ , Б ^ ] ⟩ |

Я предполагаю, что вы могли бы измерить дисперсию двух наблюдаемых с возрастающей точностью, чтобы найти какой-то верхний предел на их коммутаторе.

Обратите внимание, что это работает для любых двух наблюдаемых, которые вы хотите использовать, а не только для канонических, таких как X и P.

Из контекста я могу сказать, что по Δ А ^ 2 ты имеешь в виду ( Δ А ^ ) 2 и не Δ ( А ^ 2 ) , но было бы неплохо, если бы вы сделали разницу явной, особенно для вопросов, подобных этому, которые привлекают многих начинающих физиков.
проблема в том, что граница в целом зависит от состояния, поэтому вы получите лучшую информацию о средних значениях коммутаторов, не намного больше. Если вы не можете гарантировать, что находитесь в определенном собственном состоянии этого коммутатора, это немного... и тогда забудьте о недиагональных элементах...
@BobKnighton, ты абсолютно прав, позволь мне отредактировать
В шаге V отсутствует квадрат правой части
Почему верно то, что мы всегда можем выбрать систему отсчета для установки ⟨ А ⟩ "=" 0 ?
От неопределенности к коммутационным соотношениям
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v