Есть ли связь между распределением энергии и замедлением времени?

Если астронавты с часами B в сценарии 1 и 2 всегда проводят 22 года, используют одну и ту же энергию и достигают одной и той же максимальной скорости ... Но пройденное расстояние будет другим. Повлияет ли это на замедление времени?

Да. Собственное время, которое показывают часы, определяется выражением$\int ds$, где$ds^2=dt^2-dx^2-dy^2-dz^2$(в единицах с$c=1$). Правильное время зависит от детальной формы мировой линии часов, а не только от какого-то параметра, такого как максимальная энергия.

На самом деле, хотя сначала мне это было не очевидно, я думаю, что твоя интуиция верна. В этом особом случае постоянного ускорения, за которым следует постоянное торможение, если вы сохраняете одинаковыми максимальную кинетическую энергию и общее собственное время в обоих сценариях, общее время, прошедшее на Земле, также будет одинаковым.

Чтобы убедиться в этом, обратите внимание на ситуацию, когда космонавт всегда ощущает одно и то же ускорение.$a$известен как случай постоянного собственного ускорения. Если вы будете искать этот термин, вы сможете найти вывод задействованных кинематических формул, но здесь я просто приведу их, чтобы сосредоточиться на рассматриваемом аргументе.

Время$t$наблюдаемое человеком на Земле, связано с собственным временем$\tau$ощущается космонавтом как

$$t=\frac{1}{a}sinh(a\tau).$$ А кинетическая энергия равна $$KE=m\left( cosh(a\tau)-1\right).$$

Здесь я использую единицы, где$c=1$для удобства.

---

Теперь, если масса$m$и макс$KE$постоянна, из второго уравнения комбинация

$$a\tau = cosh^{-1}\left(\frac{KE}{m}+1\right)$$ тоже постоянно. Кстати, эта константа — это то же самое, что и быстрота, если вы знакомы с этим.

Это означает, что комбинация$a t= sinh(a\tau)$тоже постоянно. Тогда отношение

$$\frac{t}{\tau}=\frac{at}{a\tau}$$ является константой, которая зависит только от максимальной скорости (или максимальной кинетической энергии, если масса постоянна).

Таким образом, хотя общее время пути разбивается на четыре части с разными постоянными ускорениями, отношение каждой части к ее собственному времени одинаково. Поэтому независимо от того, когда вы решите переключиться с торможения на ускорение, общее земное время будет равно постоянному отношению, умноженному на общее собственное время. Так что ваша интуиция о том, что земное время не будет зависеть от сценария, верна в этом особом случае.

Если у вас более сложная траектория полета с непостоянным ускорением, этот фактор, связывающий собственное время с земным временем, больше не будет постоянным, и поэтому ответ Бена Кроуэлла в целом правильный.