Физическая интерпретация связи между холловской проводимостью и кривизной Берри?

Формула следует из формулы проводимости Кубо (основанной на теории линейного отклика), которая обсуждается в этом вопросе: Формула Кубо для квантового эффекта Холла и в ссылках в ней. Исходя из формулы Кубо (набор$e=\hbar=1$)

$$\tag{1}\sigma_{xy}=i\sum_{E_m<0<E_n}\frac{\langle m|v_x|n\rangle\langle n|v_y|m\rangle-\langle m|v_y|n\rangle\langle n|v_x|m\rangle}{(E_m-E_n)^2},$$ где $|m\rangle$- собственное состояние одной частицы с собственной энергией $E_m$, т.е. $$\tag{2} H|m\rangle = E_m|m\rangle.$$ Возьмем производную импульса $\partial_\boldsymbol{k}$по обе стороны уравнения. (2), имеем $$\tag{3}(\partial_{\boldsymbol{k}}H)|m\rangle + H\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle = (\partial_{\boldsymbol{k}}E_m)|m\rangle + E_m \partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$$ Затем перекрываются с $\langle n|$слева, уравнение (3) становится $$\tag{4}\langle n|(\partial_{\boldsymbol{k}}H)|m\rangle + E_n\langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle = (\partial_{\boldsymbol{k}}E_m)\langle n|m\rangle + E_m \langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$$ Здесь мы использовали $\langle n|H = E_n\langle n|$. Если $|m\rangle$и $|n\rangle$являются разными собственными состояниями (для $E_m\neq E_n$в уравнении (1)), их перекрытие должно исчезнуть, т.е. $\langle n|m\rangle=0$. Также обратите внимание, что $\partial_{\boldsymbol{k}} H$не что иное, как оператор скорости $\boldsymbol{v}=\partial_{\boldsymbol{k}} H$по определению. Итак, уравнение (4) можно свести к $$\tag{5} \langle n|\boldsymbol{v}|m\rangle = (E_m - E_n) \langle n|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle.$$ Замените уравнение (5) к уравнению. (1) (восстановление $x$, $y$индекс), мы имеем $$\tag{6} \sigma_{xy}=-i\sum_{E_m<0<E_n}\big(\langle m|\partial_{k_x}|n\rangle\langle n|\partial_{k_y}|m\rangle - \langle m|\partial_{k_y}|n\rangle\langle n|\partial_{k_x}|m\rangle\big).$$

С другой стороны, соединение Берри определяется как$\boldsymbol{A}=i\langle m|\partial_{\boldsymbol{k}}|m\rangle$, а кривизна Берри равна$F_{xy}=(\partial_{\boldsymbol{k}}\times\boldsymbol{A})_z=\partial_{k_x}A_{y}-\partial_{k_y}A_{x}$. При условии$(\partial_\boldsymbol{k}\langle m|)|n\rangle = - \langle m|\partial_\boldsymbol{k}|n\rangle$(интегрирование по частям), мы можем видеть

$$\tag{7} F_{xy}= -i \sum_n\big( \langle m|\partial_{k_x}|n\rangle\langle n|\partial_{k_y}|m\rangle - \langle m|\partial_{k_y}|n\rangle\langle n|\partial_{k_x}|m\rangle\big) +i \langle m|\partial_{k_x}\partial_{k_y}-\partial_{k_y}\partial_{k_x}|m\rangle.$$ Последний член исчезнет, ​​поскольку частные производные коммутируют друг с другом. Таким образом, сравнивая с уравнением (6), получаем $$\tag{8} \sigma_{xy}=\sum_{E_m<0}F_{xy}\sim\int_\text{BZ} d^2k F_{xy}.$$ Это означает, что проводимость Холла представляет собой просто сумму чисел Черна , т. е. полного потока Берри через зону Бриллюэна (ЗБ) для всех занятых зон. Конечно, мы можем перепараметризовать импульсное пространство другой парой переменных, и общий поток Берри через ЗБ не изменится (поскольку он не зависит от координат).

Так в чем же физический смысл$F_{xy}$?$F_{xy}$— эффективное магнитное поле в импульсном пространстве (перпендикулярно$xy$-самолет вдоль$z$-направление). Мы знаем, что для магнитного поля$\boldsymbol{B}$в реальном пространстве на движущуюся в нем заряженную частицу будет действовать сила Лоренца , так что уравнение движения будет иметь вид$\dot{\boldsymbol{k}}=\dot{\boldsymbol{r}}\times \boldsymbol{B}$. Теперь перейдем к импульсному пространству, нам просто нужно поменять местами импульс$\boldsymbol{k}$и координата$\boldsymbol{r}$, и заменить$\boldsymbol{B}$к$\boldsymbol{F}$(обратите внимание, что символ$\boldsymbol{F}$здесь обозначена кривизна Берри, а не сила), что приводит к

$$\tag{9} \dot{\boldsymbol{r}}=\dot{\boldsymbol{k}}\times \boldsymbol{F}$$ Так что же $\dot{\boldsymbol{r}}$? Это скорость электрона, которая пропорциональна электрическому току $\boldsymbol{j}$. И что такое $\dot{\boldsymbol{k}}$? Это сила, действующая на электрон (поскольку сила - это скорость изменения импульса со временем), которая пропорциональна напряженности электрического поля . $\boldsymbol{E}$, поэтому уравнение (9) подразумевает $$\tag{10} \boldsymbol{j} \sim \boldsymbol{E}\times \boldsymbol{F}.$$ Поэтому кривизна Берри $F_{xy}$в каждой точке импульса просто дает отклик Холла одночастичного состояния в этом импульсе. Таким образом, холловская проводимость всей электронной системы должна быть суммой кривизны Берри по всем занятым состояниям, что указано в уравнении (8).