Флуктуационно-диссипационная теорема в формализме Келдыша

То, что вы имеете в виду, является формой теоремы флуктуации-рассеивания (FDT), которая связывает фактор динамической структуры с некоторой запаздывающей восприимчивостью. Уравнение, которое вы записали, верно для бозонных систем, и в этом случае правая часть может быть интерпретирована как восприимчивость, а левая часть связана с фактором динамической структуры через соотношение$G^{<} = G^{K}+\frac{1}{2}\left(G^A-G^R\right)$. Это ведет к$G^{<}(\epsilon) = n_{B}(\epsilon)\mbox{Im}\left[G^R(\epsilon)\right]$, где$n_{B}(\epsilon)$– функция распределения Бозе.

Однако для фермионной системы$n_{B}(\epsilon)$должен быть заменен на$n_{F}(\epsilon)$- функция распределения Ферми - в приведенном выше уравнении. Это дает фермионный FDT. В этом случае можно восстановить известную бозонную FDT, рассматривая двухчастичные возбуждения, которые можно выразить как произведение одночастичных возбуждений, используя теорему Вика.

$\Pi^{R}(t,t^{'}) = G^{R}(t,t^{'})G^{K}(t^{'},t) + G^{K}(t,t^{'})G^{A}(t^{'},t)$— запаздывающая восприимчивость , и аналогично можно написать выражение для$\Pi^{<}$с точки зрения$G^{R,A,K}$

В состоянии равновесия можно показать, что:$\Pi^{<}(\epsilon) = n_{B}(\epsilon)\mbox{Im}\left[\Pi^{R}(\epsilon)\right]$. Это знакомая форма FDT. Вы найдете подробное обсуждение в книге Каменева гл. 9.

Линейный отклик и функции Грина.
В теории линейного отклика, если нам задан гамильтониан,$H=H_0+\lambda (t)X$, ответ переменной$Y(t)$дан кем-то

$$\langle Y^h(t)\rangle = \langle Y(t)\rangle+ \int_{-\infty}^{+\infty} dt_1\left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)\lambda(t_1),$$ где функция отклика — это просто запаздывающая функция для операторов$Y(t), X(t_1)$(операторы без индекса имеют временную эволюцию, управляемую только$H_0$): $$G_{YX}^r(t,t_1)= \left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)=\left[G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1)\right]\theta(t-t_1).$$ Восприимчивость - это просто преобразование Фурье этой функции, тогда как предварительная функция Грина определяется как $$G_{YX}^a(t,t_1)= \left\langle\frac{i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle\theta(t-t_1)=\left[G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1)\right]\theta(t_1-t),$$ так что $$G_{YX}^r(t,t_1) - G_{YX}^a(t,t_1) = G_{YX}^>(t,t_1) - G_{YX}^<(t,t_1) = \left\langle\frac{-i}{\hbar}[Y(t),X(t_1)]\right\rangle$$ Отметим также, что частотное пространство (т. е. для преобразований Фурье): $$G_{YX}^r(\omega) - G_{YX}^a(\omega) = G_{YX}^>(\omega) - G_{YX}^<(\omega),$$ как простое следствие определений.

Представление Лемана
В собственном базисе невозмущенного гамильтониана$H_0|n\rangle=E_n|n\rangle$большая функция Грина имеет следующее представление

$$G_{YX}^>(t,t_1)=\frac{-i}{\hbar}\left\langle Y(t)X(t_1)\right\rangle= \frac{-i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_n}e^{-i(E_m-E_n)(t-t_1)/\hbar}Y_{nm}X_{mn},\\ G_{YX}^>(\omega) = \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_n}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)$$ Сходным образом $$G_{YX}^<(\omega) = \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta E_m}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)=\\ \frac{-2\pi i}{\hbar}\sum_{n,m}e^{-\beta (E_n+\hbar\omega)}Y_{nm}X_{mn}\delta\left(\omega -\frac{E_m-E_n}{\hbar}\right)=e^{-\beta\hbar\omega}G_{YX}^>(\omega)$$ Таким образом, мы имеем $$G_{YX}^>(\omega)\pm G_{YX}^<(\omega)=\left(1\pm e^{-\beta\hbar\omega}\right)G_{YX}^>(\omega)\Rightarrow\\ G_{YX}^>(\omega)+ G_{YX}^<(\omega)=\frac{1+e^{-\beta\hbar\omega}}{1-e^{-\beta\hbar\omega}}\left[G_{YX}^>(\omega)- G_{YX}^<(\omega)\right]=\\ \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)\left[G_{YX}^>(\omega)- G_{YX}^<(\omega)\right].$$ Таким образом, признавая левую часть этого выражения определением функции Грина Келдыша, мы имеем $$G_{YX}^K(\omega)= \coth\left(\frac{\beta\hbar\omega}{2}\right)\left[G_{YX}^r(\omega)- G_{YX}^a(\omega)\right]$$

Это ФДТ?

• Обратите внимание, что определенная нами функция Келдыша имеет вид $$G_{YX}^K(t,t_1) - G_{YX}^a(t,t_1) = \frac{-2i}{\hbar}\left\langle\frac{1}{2}\{Y(t),X(t_1)\}\right\rangle,$$ то есть это просто корреляционная функция (с точностью до множителя), Фурье-образом которой является интенсивность шума. Таким образом, мы имеем утверждение теоремы о флуктуации-диссипации.
• Это соотношение также будет иметь место, если$X$и$Y$являются операторами рождения и уничтожения, в которых функции Грина принимают более привычную форму. Однако его интерпретация как FDT становится менее надежной, если мы не вводим обобщенные восприимчивости. Более условно разница между опережающей и запаздывающей функциями Грина соответствует плотности состояний, тогда как функция Келдыша является функцией распределения частиц.
• Хотя соотношение сохраняется за пределами линейного отклика, оно по-прежнему является утверждением о коэффициентах линейного отклика! Это противоречит нелинейному FDT, который обычно подразумевает утверждения о реакции более высокого порядка (более высокий порядок в$\lambda(t)$).

---

Старый ответ
Разница между запаздывающей и опережающей функциями Грина в правой части этого уравнения на самом деле является плотностью состояний, то есть тем, что вы могли бы назвать структурным фактором, тогда как$G^K$проверяет возможности добавления/удаления частицы, т.е. восприимчивость .

Что заставляет меня лично скептически относиться к интерпретации этого уравнения, так это то, что формулировка его в терминах формализма Келдыша дает поверхностную иллюзию того, что FDT может применяться вне равновесия (или, по крайней мере, что оно имеет такую ​​простую форму вне равновесия), тогда как это не так. случай.