Форма орбиты внутри планеты

Вы правы, это идеальный эллипс с центром планеты в геометрическом центре эллипса.

Немного физики:

Сила, действующая на тело с массой$m$в гравитационном поле планеты радиусом$R$и гравитация$g$на его поверхности:

$$\vec{F}(\vec{r})=\begin{cases}-m\cdot g\cdot \frac{\vec{r}}{R} &\text{for} &|\vec{r}|\le R\\ -m\cdot g\cdot R^2\cdot\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3} &\text{else}\end{cases}$$

За пределами планеты вам предстоит решить дифференциальное уравнение

$$m\ddot{\vec{r}}=-m\cdot g\cdot R^2\cdot\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|^3}$$

что немного сложно из-за$\frac{1}{|\vec{r}|^3}$. (На самом деле используются другие подходы)

Однако внутри планеты просто

$$m\ddot{\vec{r}}=-m\cdot g\cdot \frac{\vec{r}}{R}$$

Или с$\vec{r}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$в плоскости движущегося тела:

$$\begin{align}\ddot{x}(t)&=-\frac{g}{R}x(t) \\ \ddot{y}(t)&=-\frac{g}{R}y(t)\end{align}$$

Это два независимых линейных дифференциальных уравнения, решение которых просто

$$\vec{r}(t)=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A\sin(\omega t+\varphi)\\B\sin(\omega t+\psi)\end{pmatrix}$$

Это эллипс с полуосями А и В.$\omega=\sqrt{g/R}$определяет период

$$T=\frac{2\pi}{\omega}=2\pi\sqrt{\frac{ R}{g}}$$

Примечания:

• Конечно, это предполагает, что тело всегда находится внутри планеты, т.е.$A,B\le R$. Было бы интересно увидеть траектории, по которым тело покидает планету.
• Примечательно, что период постоянен для данной планеты и не зависит от параметров орбиты.
• Если вы установите, например,$A=0$и$B=R$, вы получаете особый случай @hopDavid, упомянутый в его комментарии
• Если вам трудно понять/вообразить это: уравнения для маятника идентичны (с$\omega=\sqrt{g/l}$), поэтому маятник и тело ведут себя одинаково.
• Как и для обычных орбит, тело и планета будут иметь эллиптическую траекторию с геометрическими центрами в барицентре.