Как я узнаю математически, а не из наблюдений, полная ли луна?

Фазы Луны можно определить по фазовому углу между Солнцем, Луной и Землей; например, при 0° Луна определяется как полная, а при 180° — как новая. Если вы хотите узнать, насколько ярка Луна под заданным углом, мы будем использовать фазовый угол, чтобы найти видимую и абсолютную звездную величину Луны.

Абсолютная величина, когда речь идет об освещенных объектах (объектах, которые не излучают собственный видимый свет), просто означает их видимую величину, если смотреть с расстояния 1 а.е. Это означает, что он почти полностью зависит от фазового угла объекта. Прямо сейчас вы спрашиваете, насколько яркой Луна покажется человеку на Земле, так что мы найдем видимую величину. Формула для нахождения видимой величины освещенного объекта (в Солнечной системе), если мы знаем его абсолютную величину.$H$, является:

$$m = H + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{d_{BS}^2 d_{BO}^2}{p(\chi) d_0^4}\right)}\!\,$$

Где$d_0$составляет 1 а.е.,$\chi$фазовый угол (в радианах) и$p(\chi)$— фазовый интеграл (интегрирование отраженного света).$d_{BO}$расстояние между наблюдателем и телом,$d_{BS}$- расстояние между Солнцем и телом, а$d_{OS}$расстояние между наблюдателем и Солнцем. Эта формула, вероятно, выглядит довольно устрашающе, но ее можно упростить с помощью некоторых приближений. Во-первых, мы можем аппроксимировать фазовый интеграл следующим образом:

$$p(\chi) = \frac{2}{3} \left( \left(1 - \frac{\chi}{\pi}\right) \cos{\chi} + \frac{1}{\pi} \sin{\chi} \right)$$ Где $\chi$фазовый угол в радианах. В случае Луны мы можем установить $H_{Moon} = +0.25$(это абсолютная величина во время полнолуния), $d_{OS} = d_{BS} = 1$АС и $d_{BO} = 0.00257$АУ. Теперь получаем формулу:

$$m_{Moon} = 0.25 + 2.5 \log_{10}{\left(\frac{0.00257^2}{p(\chi)}\right)}$$

Итак, теперь у нас есть формула, которая аппроксимирует видимую величину Луны при любом заданном фазовом угле. Однако, несмотря на то, что это дает близкое приближение, это не на 100% точно. Астрономы используют эмпирически полученные отношения для предсказания видимых величин, когда требуется точность.

Вот быстрый скрипт, который я написал для расчета видимой величины при любом фазовом угле: https://jsfiddle.net/fNPvf/33429/

Вот практический подход — алгоритм и уравнения упакованы в виде программной библиотеки.

Установите PyEphem:

http://rhodesmill.org/pyephem/

Запустить его:

$ python
Python 2.7.12 (default, Jun 29 2016, 14:05:02) 
[GCC 4.2.1 Compatible Apple LLVM 7.3.0 (clang-703.0.31)] on darwin
Type "help", "copyright", "credits" or "license" for more information.
>>> import ephem
>>> moon = ephem.Moon(ephem.now())
>>> print moon.phase
32.316860199
>>> print(ephem.next_new_moon(ephem.now()))
2016/9/1 09:03:05
>>> print(ephem.next_full_moon(ephem.now()))
2016/9/16 19:05:05
>>> 

«фаза» находится в диапазоне от 0 (новая луна) до 100 (полная луна).

Подробнее:

http://rhodesmill.org/pyephem/tutorial.html

Короткий ответ:

Программа для расчета точного времени полнолуния намного дешевле, чем астрономические инструменты, необходимые для наблюдения за полнолунием.

Длинный ответ:

Я могу сказать вам, что наблюдение невооруженным глазом довольно бесполезно для определения того, полная ли Луна.

Когда я был ребенком, я однажды заметил на небе Луну и, таким образом, понял, что Луна иногда видна днем, и с тех пор я видел Луну днем ​​много раз.

Однажды днем, при ярком солнечном свете, я был на променаде в Кейп-Мей, штат Нью-Джерси, недалеко от конференц-зала. И я увидел что-то похожее на полную Луну низко над Атлантическим океаном. В синем дневном небе. Но если полная Луна должна быть на 180 градусов от Солнца, если смотреть с Земли, Солнце должно было быть ниже противоположного горизонта, а небо должно было быть темнее.

Когда Луна полная, разве большая часть полной Луны и Солнца, которую можно надеяться увидеть одновременно, не должна состоять в том, чтобы увидеть половину Луны и половину Солнца на противоположном горизонте?

Поэтому я обернулся и увидел полный круг Солнца низко в небе. Как это возможно?

1) Земля сферическая, поэтому горизонт чуть ниже половины сферы, а небо больше половины сферы. Таким образом, Солнце и Луна могут находиться на расстоянии 180 градусов друг от друга и при этом быть над горизонтом.

2) Земная атмосфера преломляет свет и заставляет объект у горизонта казаться выше, чем он есть на самом деле, поэтому Солнце и Луна могли быть частично закрыты горизонтом, но казались выше в небе.

3) И, возможно, Луна выглядела полной для моего невооруженного глаза, но не была полностью полной, и в этом случае Солнце и Луна были бы разделены менее чем на 180 градусов.

Много лет спустя я однажды утром был на вокзале в Чалфонте, штат Пенсильвания, и заметил что-то похожее на полную Луну в ярко-голубом небе. Железнодорожная станция находится на низменности, вокруг нее холмы, здания и деревья. Я нашел Солнце в небе, а затем указал одной рукой на Солнце, а другой на Луну. И мои две руки были направлены заметно меньше, чем на 180 градусов друг от друга.

Поэтому Луна не могла быть полностью полной в то время, когда она была заметно меньше 180 градусов от направления на Солнце. Следовательно, Луна может выглядеть полной для моего невооруженного глаза и, предположительно, для любого другого невооруженным глазом в течение нескольких дней во время полнолуния.

Луна может выглядеть полной, как вы можете видеть невооруженным глазом, когда она не полная.

Таким образом, чтобы найти точный день, или час, или минуту, или секунду, когда Луна точно полная, потребуется телескоп и, возможно, некоторые сложные астрономические инструменты для измерения ее углового диаметра. Чем точнее кто-то желает знать момент полнолуния, тем больше его астрономическое оборудование и его стоимость должны быть равны стоимости профессиональной астрономической обсерватории.

Таким образом, использование программы расчета лунных фаз будет намного дешевле, чем оборудование, необходимое для наблюдения за моментом полнолуния.