Форма Вселенной?

Тут куча вопросов. Попробую рассмотреть их по порядку:

• Возможно ли, что наша Вселенная обладает такой особенностью, что если вы путешествуете достаточно далеко, вы возвращаетесь туда, откуда начали?

Да. Стандартная космологическая модель Большого взрыва основана на идее, что Вселенная однородна и изотропна. Один вид однородного пространства-времени имеет геометрию 3-сферы (как обычная сфера, но с еще одним измерением). В этих космологических моделях, если вы путешествуете достаточно далеко, вы возвращаетесь к тому, с чего начали.

Тем не менее, наилучшие доступные данные, по-видимому, указывают на то, что Вселенная почти плоская в пространстве. Это означает, что, если мы живем во Вселенной с тремя сферами, радиус сферы очень велик, и расстояние, которое вам придется преодолеть, намного больше, чем размер наблюдаемой Вселенной. Даже если бы это было не так, тот факт, что Вселенная расширяется, сделал бы практические кругосветные путешествия трудными или невозможными: как бы быстро вы ни плыли (если не считать скорости света), вы никогда не сможете совершить все это наоборот. Тем не менее, 3-сферные Вселенные с описанным вами геометрическим свойством определенно являются жизнеспособными космологическими моделями.

• Порождает ли это симметрию по теореме Нётер?

Не совсем. Теорема Нётер обычно применяется к непрерывным симметриям (т. е. таким, которые можно применять бесконечно мало), а не к таким дискретным симметриям. Тот факт, что пространство однородно, порождает симметрию, а именно сохранение импульса, независимо от того, имеет ли пространство 3-сферную геометрию или нет, но симметрия, о которой вы здесь говорите, не порождает ничего лишнего.

• Будут ли маленькие свернутые измерения иметь такую ​​же симметрию?

Думаю, я оставлю это для кого-то другого. Не моя вещь.

• Известно ли точно, какова геометрическая форма Вселенной?

Нет, и не позволяйте никому говорить вам иначе! Иногда, особенно в научно-популярной литературе, люди подразумевают, что мы знаем о глобальных свойствах Вселенной гораздо больше, чем на самом деле. Мы часто предполагаем такие вещи, как однородность, чтобы упростить нашу жизнь, но на самом деле мы понятия не имеем, на что похожи вещи за пределами нашего горизонта.

• Как описать «размер» измерения?

Если геометрия Вселенной имеет достаточно симметрий, имеет смысл везде определить общую временную координату. Тогда имеет смысл представить себе «срез» пространства-времени, представляющий Вселенную в данный момент времени. Если некоторые из этих срезов обладают тем геометрическим свойством, о котором вы говорите, то есть, пройдя расстояние R в определенном направлении, вы вернетесь к исходной точке, тогда имеет смысл называть R «размером» соответствующего измерения. Если вы можете путешествовать вечно, то мы говорим, что размер в этом измерении бесконечен.

• Можно ли описать неспециалисту форму Вселенной, не прибегая к неумелым аналогиям?

Все аналогии несовершенны. Я думаю, что лучшее, что вы можете сделать, это использовать несколько из них и попытаться передать ограничения каждого из них.

ответ на вопрос Магеллана для нашей Вселенной на самом деле «Нет». Если бы Вселенная была статической 3-сферой, как предполагает Тед Банн, то вы могли бы «плавать» по Вселенной, как Мегаллан вокруг Земли.

Но важным фактом о нашей Вселенной является то, что ее размер меняется: размер не может оставаться постоянным, как яблоко не может сидеть посреди спальни (в воздухе) — это еще одна вещь, которую гравитация согласно общей теории относительности гарантии. Уже сегодня оно напоминает пустое пространство де Ситтера (поскольку темная энергия или космологическая постоянная составляет большую часть энергии во Вселенной), которое экспоненциально расширяется. Так называемая причинная диаграмма Пенроуза пространства де Ситтера

показывает, что в нем нет времениподобных (чаще всего вертикальных) траекторий, которые привели бы вас в одно и то же место, заданное$x$координировать. Это потому, что высота диаграммы (квадрата) очень ограничена.

Так что никогда не получится путешествовать по прямой, даже если вы приблизились к скорости света, и вернуться туда же, откуда начали (и встретить свою цивилизацию, которая никуда не путешествовала). Для этого вывода важна зависимость размеров Вселенной от времени.

Пространственное сечение нашей Вселенной почти плоское - это потому, что полная плотность (включая темную энергию и темную материю) очень близка к критической плотности, что гарантируется космической инфляцией. Она может быть слегка положительно изогнутой, как 3-сфера (поверхность 4-мерного шара), или слегка отрицательно изогнутой (поверхность гиперболоида, напоминающего седло, но трехмерного).

Вся геометрия пространства-времени близка к 4-мерному пространству де Ситтера, которое можно записать в виде следующего гиперболоида в 4+1 измерениях:

Относительно другого вопроса, который вы задали: если Вселенная компактна, как сфера, то волновую функцию можно рассматривать просто как волновую функцию сферы. Конечно, если сфера параметризована некоторыми координатами, такими как широта и долгота, она является периодической функцией, по крайней мере, последней.

Сфера имеет полную вращательную симметрию,$SU(2)$. Дополнительные измерения в струнной/М-теории не могут иметь непрерывных симметрий. Считается, что это многообразия Калаби-Яу или очень похожие многообразия, в которых все измерения связаны нетривиальным образом.

Если у вас компактное пространство и вы пишете волновую функцию так, чтобы она удовлетворяла$\psi(x) = \psi(x+2\pi R)$, то действительно, эту периодичность можно интерпретировать как симметрию относительно (дискретной) группы трансляций, кратных$2\pi R$. Хотя теорема Нётер обычно предназначена для непрерывных симметрий, вы можете сказать, что подразумевает симметрия и для таких дискретных симметрий.

Мультипликативным генератором симметрии является перенос на$2\pi R$и он коммутирует с гамильтонианом — ведь это тождество, в конце концов. Генератор можно записать как$\exp(2\pi i R p)$куда$p$есть импульс в круговом направлении. А поскольку он равен единице, это означает, что импульс квантуется в единицах$1/R$что, наверное, не слишком удивительно. Проблема здесь в том, что перевод$2\pi R$на самом деле не является «нетривиальной симметрией» в данном случае: это операция, которая вообще ничего не делает. Он сохраняет все объекты инвариантными, поэтому с ним не связана нетривиальная сохраняющаяся величина Нётер.

Поскольку на самом деле наблюдаема только часть Вселенной, я не уверен, что можно ответить на этот вопрос.

С сайта НАСА: «Недавние измерения (ок. 2001 г.) ряда наземных и аэростатных экспериментов, включая MAT/TOCO, Boomerang, Maxima и DASI, показали, что самые яркие пятна имеют ширину около 1 градуса. Таким образом, до результатов WMAP было известно, что Вселенная плоская с точностью до 15%. WMAP подтвердил этот результат с очень высокой точностью. Теперь мы знаем, что Вселенная плоская, с погрешностью всего 2%». Результаты WMAP приведены здесь: http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/map/current/