U(1)U(1)U(1) 5-мерные топологические дефекты Калуцы-Клейна

Хорошо известно, что пятимерная теория Калуцы-Клейна предсказывает, что электромагнитное поле можно описать как закрученное дополнительное измерение над четырехмерным пространством-временем. То есть вам нужна только общая теория относительности и дополнительное скрученное круговое измерение, чтобы получить векторное безмассовое поле, которое подходит для описания электромагнетизма.

Например, если мы можем описать локальное пространство-время КК как слой U ( 1 ) × М 4 , а если изобразить образно М 4 как длина шланга, то U ( 1 ) волокно похоже на толщину шланга

Мне любопытно, в соответствии с этой теорией, каким будет ожидаемое поведение простых дефектов в топологии.

В частности, я хочу рассмотреть один дефект, это иллюстрированное изображение шланга, но присоединение нового рукава шланга к существующему шлангу, в основном, дает шланг с 3 ногами (или штаны с 3 ногами, если хотите). В этом случае волокно поверх М 4 было бы U ( 1 ) только в области, удаленной от дефекта. Другой способ изобразить это — представить себе букву Т, и наш М 4 Вселенная является верхней частью T.

Как такой дефект будет выглядеть на нашей стороне Вселенной? Как выглядело бы электромагнитное поле вблизи такого дефекта, существенно изменяющего простое U ( 1 ) топология?

Просто быть придирчивым: чтобы убедиться, что у вас есть только электромагнетизм и гравитация, дилатон также должен быть установлен на константу.
Можете ли вы написать это как Икс × М 4 , где Икс что-то одномерное? Я не совсем понимаю, почему вы называете этот шланг с тремя ножками (обычно известный как пара штанов или сфера с тремя отверстиями в 2D-кейсе, кстати) «дефектом U ( 1 ) топология" , иначе. Не могли бы вы уточнить?
@CuriousMind Хорошо, я имел в виду, что Икс многообразие U ( 1 ) далеко от дефекта, чтобы восстановить электромагнетизм в асимптотической области. Согласен, что трехногие штаны - лучшее графическое описание, которое согласуется с другими учебниками по кобордизму и тому подобному.
@JamalS, правда .. Хотя, насколько я помню, дилатон ведет себя как нейтральное скалярное поле? или это связано с электромагнитным полем?
@diffeomorphism Он связан с электромагнитным полем. Вы можете убедиться в этом, самостоятельно проведя вычисления с анзацем. Я также сделал расчет здесь: physics.stackexchange.com/q/64735 .

Ответы (1)

Насколько я понимаю, ваш вопрос подразумевает, что «шланг» находится в каком-то регионе в М 4 , это изображение разрешено, если вы считаете, что ваш Икс × М 4 вложена в 6-мерное пространство, однако не имеет смысла говорить, что топология петли (1 компактное измерение) может превратиться из одной петли в две...

У вас могут быть локальные изменения радиуса этой петли, это происходит из-за непостоянного дилатона (его колебания называются «радионом»). Если эта петля больше не круглая, вы теряете U ( 1 ) изометрия, а вместе с ней и ваше безмассовое калибровочное поле.

Однако допустим такую ​​возможность, что есть какое-то вложение в 6-мерное пространство и "шланг" расщепляется. Физически это означало бы, что 4-мерная вселенная разделяется на две части в областях (до разделения) пространства-времени, где это разделение происходит. Вблизи этого раскола компактное дополнительное измерение уже не может быть круговым, так что я предполагаю, что U ( 1 ) калибровочное поле приобретает массу, чтобы вскоре после этого потерять ее в новую вселенную, и циркулярность восстанавливается.

Примечание: обсуждение с ACuriousMind помогло уточнить ответ, см. комментарии.

Непересекающееся объединение двух окружностей по-прежнему является одномерным многообразием — оно просто несвязно, поэтому «не имеет смысла говорить, что топология петли (1 компактное измерение) может превратиться из одной петли в две» — это преувеличение. да, топология другая, но непересекающееся объединение двух окружностей по-прежнему компактно и одномерно. Или есть что-то, что заставляет пространство 5D быть глобально Икс × М 4 с тем же Икс ?
Правда, мое утверждение не было строгим математическим утверждением. Но я имел в виду, что если бы у вас были две непересекающиеся петли, и вы попросили бы вас дать мне свои 5-мерные координаты, как бы вы это сделали? вам либо нужно указать два числа, по одному для каждого цикла, тогда на самом деле Икс × Икс × М 4 . Или вам придется сказать, что у вас есть две копии М 4 вселенной, где в каждой копии я могу указать одну из двух дополнительных координат, так что чтобы указать их одновременно, мне придется говорить о двух точках в двух параллельных вселенных, так сказать
Нет, две непересекающиеся окружности по-прежнему являются одномерным многообразием, описываемым ровно одной координатой. Возьмите координату θ е [ 0 , 4 π ) и сказать, что значения в [ 0 , 2 π ) описать один круг (как очевидная угловая координата θ ) и значения в [ 2 π , 4 π ) описать другую окружность (как угол θ − 2 π , естественно). Это очень хорошая координата. Непересекающиеся союзы душ, в отличие от произведений, не увеличивают размерность. (Обратите внимание, что С 1 × С 1 это не союз двух кругов С 1 ∪ С 1 , но тор Т 2 , который действительно двумерный)
Ну тогда в данном случае реализуется случай два. Ибо тогда какая физическая разница между точкой ( т 1 , Икс → 1 , θ 1 ) и ( т 1 , Икс → 1 , θ 1 + 2 π ) ? Если разницы нет, то эта картинка избыточна. Если это (как и должно быть) две разные точки, то мы имеем две параллельные вселенные.
Чтобы быть более физически прозрачным. Если все амплитуды рассеяния инвариантны относительно θ → θ + 2 π тогда эти две вселенные избыточны. Если какой-то из них нет, то как узнать по вашим 4-м координатам, какая амплитуда реализуется? вы должны знать, если вы находитесь во вселенной θ е [ 0 , 2 π ] или в θ е [ 2 π , 4 π ] ... Конечно, это предполагает равный радиус ... если радиусы не равны, то ясно, что каждая вселенная определяется своим расширением VEV.
Я думаю, вы должны добавить это («физическую прозрачность») к своему ответу. Я надеялся, что у вас действительно есть аргумент, почему мы не можем получить такую ​​структуру из 5D Калуцы-Кляйна, но даже без этого это ответ.
«не имеет смысла говорить, что топология петли (1 компактное измерение) может превратиться из одной петли в две». Шланг (или штанина) становится Т-образным шлангом (или Т-образными брюками). Верхний сегмент _ должен быть нашим полным М 4 , и | T предполагается четырехмерным многообразием, которое соединяется с некоторой компактной областью М 4 . Я просто пытаюсь получить некоторые грубые прогнозы того, как электромагнетизм будет искажаться вблизи такого дефекта.
Одно можно сказать наверняка: плавный переход вдоль этого соединения определенно разрушил бы круговую изометрию, которая дала безмассовый калибровочный бозон... может быть, у него была бы эффективная масса, зависящая от положения?
То есть будут заметные взаимодействия между фотонами и радионами.
Если бы во Вселенной были такие объекты, как мне их обнаружить?
например, электромагнитно... как электромагнитное поле будет вести себя вблизи дефекта?
фотоны были бы массивными => короткодействующими, и v<c.. Они также нетрадиционным образом соединялись бы с гравитонами... Другими словами, они больше никоим образом не напоминали бы фотоны.
U(1)U(1)U(1) 5-мерные топологические дефекты Калуцы-Клейна
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v