Формула скорости убегания

Question

Формула скорости убегания

пользователь179960

При установлении связи скорости убегания и радиуса я столкнулся с проблемой.

(я)

в_{е} "=" \sqrt{\frac{2 г М}{р}}

$v_e=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$

Это говорит о том, что $v_e$ обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса.

(я)

в_{е} "=" \sqrt{2 г р}

$v_e=\sqrt{2gR}$

Это говорит о том, что $v_e$ прямо пропорциональна квадратному корню из радиуса.

Кто прав?

Сэмми Песчанка

Две формулы не противоречат друг другу, потому что они не используют одни и те же переменные.

Ответы (4)

Формула скорости убегания

Две формулы не противоречат друг другу, потому что они не используют одни и те же переменные.

Флорис · Answer 1

Проблема решена, когда вы понимаете, что $g$ в вашей второй формуле является функцией $R$ : если

Ф "=" \frac{г М м}{р^{2}}

$F = \frac{GMm}{r^2}$

переписывается как

Ф "=" м г

$F = mg$

Отсюда следует, что

г "=" \frac{г М}{р^{2}}

$g = \frac{GM}{r^2}$

Подставив это во второе уравнение, вы получите первое...

Значит правильное отношение получается из первого..
Они оба верны, если ваш второй имеет квадратный корень для всего этого.
Почему ...? Разве это не противоречиво?
Это не противоречит. Если бы вы оказались на очень высокой орбите (скажем, около Луны), вы могли бы избежать земного притяжения оттуда с меньшей скоростью, чем вам нужно было бы вблизи Земли. Второе уравнение, которое у вас есть, выражает вещи относительно местной силы тяжести на высоте, где вы находитесь (которая сама по себе падает с обратным квадратом расстояния до центра земли). Поэтому вместо того, чтобы рассматривать $g$ постоянно и путаясь, вы должны признать, что это действительно $g(r)$ , разверните выражение и поймите, что противоречия нет.
Спасибо... то есть g во втором является функцией R... есть две переменные...

Фарчер · Answer 2

Когда вы записываете связь между двумя переменными $x$ и $y$ как $y \propto x$ вы также можете написать это как $y=kx$ где $k$ является константой, не зависящей от $x$ и $y$ .

Предположим, что $R$ радиус планеты, $M$ .

Используя свое первое уравнение, вы заявили, что скорость убегания $v_{\rm c}$ обратно пропорциональна квадратному корню из радиуса, $\sqrt R$ , при условии, что масса, $M$ , постоянна.
Но у вас проблема, потому что если предположить, что это однородная сферическая планета с плотностью $\rho$ масса $M = \frac 43 \pi R^3 \rho$ а масса зависит от радиуса, так что то, что вы приняли за константу, $2GM$ , не зависит от радиуса.

Для второго уравнения вы говорите, что скорость убегания $v_{\rm c}$ пропорциональна квадратному корню из радиуса, $\sqrt R$ , предоставил $g$ постоянно.
Однако $g = \frac{GM}{R^2}$ так что на самом деле это также зависит от $R$ тем самым аннулируя вашу вторую пропорциональность.

Однако вы можете показать, что если плотность постоянна, то скорость убегания от однородной сферической планеты пропорциональна радиусу планеты.

каверак · Answer 3

Вы можете получить стартовую скорость, рассчитав энергию на поверхности, а затем на бесконечности.

\begin{matrix} (1) & Е_{с ты р ф} "=" \frac{1}{2} м в^{2} - г \frac{М м}{р} \end{matrix}

$E_{\rm surf} = \frac{1}{2}mv^2 -G\frac{M m}{R} \tag{1}$

Вы хотите найти $v$ так что масса $m$ достигает бесконечности $r\to\infty$ с нулевой скоростью, т.

\begin{matrix} (2) & Е_{инф} "=" 0 \end{matrix}

$E_{\inf} = 0 \tag{2}$

Если сложить эти два уравнения вместе

\begin{matrix} (3) & \frac{1}{2} м в_{е}^{2} - г \frac{М м}{р} "=" 0 \Rightarrow в_{е} "=" {(\frac{2 г М}{р})}^{1 / 2} \end{matrix}

$\frac{1}{2}mv_e^2 - G\frac{Mm}{R} = 0 ~~~\Rightarrow~~~ v_e = \left(\frac{2GM}{R}\right)^{1/2} \tag{3}$

Но теперь сила, которая $m$ ощущение на поверхности есть

\begin{matrix} (4) & Ф "=" - г \frac{М м}{р^{2}} "=" - (\frac{г М}{р^{2}}) м "=" - г м с г "=" \frac{г М}{р^{2}} \end{matrix}

$F = -G\frac{Mm}{R^2} = -\left(\frac{G M}{R^2}\right)m = -g m ~~~\mbox{with}~~~ g = \frac{GM}{R^2}\tag{4}$

Замена уравнения (4) в уравнении (3) вы получаете

\begin{matrix} (5) & в_{е} "=" {(2 г р)}^{1 / 2} \end{matrix}

$v_e = \left(2 g R\right)^{1/2} \tag{5}$

Не могли бы вы указать правильное соотношение между g и R ?
@AHM Пожалуйста, посмотрите на последнюю часть уравнения. (4)

Немо · Answer 4

$g$ определяется как:

г "=" \frac{г М}{р^{2}}

$g=\frac{GM}{R^2}$

Скорость убегания:

в_{е} "=" {(\frac{2 г М}{р})}^{0,5}

$v_{e}=\left(\frac{2GM}{R}\right)^{0.5}$

Вы можете записать это уравнение в терминах $g$ делаю этот трюк:

в_{е} "=" {(\frac{2 г М}{р} \frac{р}{р})}^{0,5} "=" {(2 \frac{г М}{р^{2}} р)}^{0,5} "=" {(2 г р)}^{0,5}

$v_{e}=\left(\frac{2GM}{R}\frac{R}{R}\right)^{0.5}=\left(2\frac{GM}{R^2}R\right)^{0.5}=\left(2gR\right)^{0.5}$

Формула скорости убегания

пользователь179960

Сэмми Песчанка

Ответы (4)

Флорис

пользователь179960

Биофизик

пользователь179960

Флорис

пользователь179960

Фарчер

каверак

пользователь179960

каверак

Немо

Скорость убегания под углом

Скорость, чтобы бросить что-то в космос

Почему мы получаем два разных ответа для скорости убегания, когда применяем разные законы для ее расчета?

Проблема с подпрыгиванием мяча SMBC

Свободное падение в неоднородном поле

Почему в формуле для получения скорости убегания vfvfv_f равно 000?

Почему v=GMr−−−√v=GMrv=\sqrt{\frac{GM}{r}} не является корректным уравнением для скорости убегания?

Первый интеграл уравнения движения: µr¨=−kr2µr¨=−kr2\mu\ddot r=-\frac{k}{r^2}

Скорость спутника на эллиптической орбите

Прилагает ли оружие к выпущенной пуле достаточно силы тяжести, чтобы остановить ее?