Почему мы получаем два разных ответа для скорости убегания, когда применяем разные законы для ее расчета?

Question

Почему мы получаем два разных ответа для скорости убегания, когда применяем разные законы для ее расчета?

Аарьян Деван

Чтобы измерить скорость убегания, если я использую уравнение -

\frac{- г М м}{р^{2}} "=" \frac{в . г в}{г р}

$\frac{-GMm}{r^2}=\frac{v.dv}{dr}$

и я полагаю, что мое последнее расстояние будет $\infty$ , то я получаю ответ,

\begin{matrix} (1) & ты "=" \sqrt{\frac{2 г М}{р}} . \end{matrix}

$u = \sqrt\frac{2GM}{R} \;. \tag{1}$ Что вполне очевидно!

Но, если я использую уравнения -

U_{\infty} - U_{я} "=" \frac{г М м}{р}

$U_{\infty} - U_i = \frac{GMm}{R}$

и

К_{\infty} + U_{\infty} "=" К_{р} + U_{р}

$K_{\infty}+U_{\infty} = K_R+U_R$

Где, $K_R$ и $U_R$ - кинетическая энергия и потенциальная энергия при R соответственно, где R - радиус Земли.

Теперь в этих двух уравнениях, если я подложу $U_{\infty} = 0$ , то я получаю,

\begin{matrix} (3) & К_{\infty} "=" К_{р} - \frac{г М м}{р} \end{matrix}

$K_{\infty} = K_R - \frac{GMm}{R}\tag{3}$

И с тех пор, $K_{\infty}$ положителен, а не равен нулю, в итоге мы получаем, что

\begin{matrix} (2) & ты > \sqrt{\frac{2 г М}{р}} \end{matrix}

$u > \sqrt\frac{2GM}{R} \tag{2}$

То есть, если я хочу взять объект на бесконечность, скорость должна быть (1), но если я хочу сделать его конечную потенциальную энергию равной 0, то его скорость должна быть больше, чем (1). Кроме того, (1) нельзя использовать в (3), потому что это означало бы окончательное $KE$ равно 0, что, очевидно, не так!

Что порождает этот обман? Подскажите, пожалуйста, где я не прав?

dmckee --- котенок экс-модератор

Я переработал много вашего LaTeX. Пожалуйста, проверьте, что я ничего не перепутал, но также посмотрите, что я сделал. Вы можете использовать $$разграничение для блочного набора уравнений, поместить все уравнение в один набор разделителей и использовать \tagдля установки номеров уравнений.

Аарьян Деван

@dmckee спасибо! На самом деле, я не знаю, как эффективно печатать! Я надеюсь, что в следующий раз я сделаю это лучше.

Ответы (3)

Почему мы получаем два разных ответа для скорости убегания, когда применяем разные законы для ее расчета?

Я переработал много вашего LaTeX. Пожалуйста, проверьте, что я ничего не перепутал, но также посмотрите, что я сделал. Вы можете использовать $$разграничение для блочного набора уравнений, поместить все уравнение в один набор разделителей и использовать \tagдля установки номеров уравнений.
@dmckee спасибо! На самом деле, я не знаю, как эффективно печатать! Я надеюсь, что в следующий раз я сделаю это лучше.

Физик137 · Answer 1

Скорость убегания - это минимально возможная скорость, при которой он покидает гравитационный колодец. Имеем по закону сохранения энергии:

Е "=" К + U "=" \frac{1}{2} м в^{2} - \frac{г М м}{р}

$E = K+U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r}$

Рассмотрим начальную и конечную энергию как $E_1$ и $E_2$ . Чтобы сбежать, вам нужно убедиться, что ваша скорость полностью превосходит потенциальную энергию. Максимально возможная потенциальная энергия есть, это случай $U = 0$ , такое бывает $r\to\infty$ . Во всех остальных случаях имеем $U < 0$ , и поэтому $U = 0$ является максимальным. Если ваша кинетическая энергия больше этого максимума, вы сбежали. Итак, давайте удостоверимся в этом. Предполагая, что ваша начальная энергия равна:

Е_{1} "=" К_{1} + U_{1} "=" К_{2} + U_{2} "=" Е_{2}

$E_1 = K_1 + U_1 = K_2 + U_2 = E_2$

Максимально имеем $U_2 = 0$ , затем:

К_{1} + U_{1} "=" К_{2} ⟹ К_{1} "=" К_{2} - U_{1}

$K_1 + U_1 = K_2 \quad\implies\quad K_1 = K_2 - U_1$

Итак, если у вас есть кинетическая энергия $K_1$ , вы убегаете. Как вы указали, вещи в конце происходят как $r\to\infty$ и поэтому $E_2 = E_\infty = K_\infty + U_\infty$ . Таким образом: $K_2 = K_\infty$ . То есть это будет ваша кинетическая энергия на бесконечности.

К_{1} "=" К_{\infty} - U_{1} ⟹ \frac{1}{2} м в^{2} "=" \frac{1}{2} м в_{\infty}^{2} + \frac{г М м}{р_{1}}

$K_1 = K_\infty - U_1\quad\implies\quad \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} mv_\infty^2 + \frac{GMm}{r_1}$

Скорость, с которой вам нужно убежать, чтобы на бесконечности вы имели скорость $v_\infty$ является:

в "=" \sqrt{в_{\infty}^{2} + \frac{2 г М}{р_{1}}}

$v = \sqrt{v_\infty^2 + \frac{2GM}{r_1}}$

В $v_\infty = 0$ , вы восстанавливаете минимальную скорость, необходимую для побега. Поскольку она минимальна, ваша скорость на бесконечности будет равна нулю. Как только вы достигаете бесконечности, независимо от того, есть у вас скорость или нет, вы убегаете, и тогда ваша потенциальная энергия равна нулю.

Спасибо за ответ! Итак, вы говорите, что конечные KE и PE равны 0, и, поскольку мы знаем, что начальное PE отрицательно, поэтому наше начальное KE должно каким-то образом сбалансировать нашу начальную Потенциальную энергию, поэтому полная энергия нашей ракеты в любой момент должна быть нуль! ?
Я говорю, что если у вас есть энергия $E\ge 0$ , вы убегаете. В частности, если $E = 0$ , то вы убегаете, и на бесконечности ваша кинетическая энергия (и, следовательно, скорость) равна нулю. Таким образом, скорость убегания как раз тогда, когда $E = 0$ , так как скорость убегания - это минимальная скорость, необходимая для убегания. Подойдет и любая большая скорость. "="

Супрабха · Answer 2

Мы определяем скорость убегания как минимальную скорость, необходимую для преодоления притяжения Земли. Поэтому предполагается, что на бесконечности кинетическая энергия равна 0. Таким образом, оба уравнения дают правильные ответы. Хотя мы пренебрегаем сопротивлением воздуха и другими силами. Таким образом, в практических случаях начальная скорость u > (2GM / R) ^ (1/2). Но теоретически скорость убегания равна (2GM/R)^(1/2)... из обоих уравнений.

Аарьян Деван · Answer 3

Итак, все зависит от начальной энергии системы. Если окончательные KE и PE равны 0, как говорит вам принятый ответ, вам нужно использовать точное значение скорости убегания, чтобы оно точно компенсировалось с $\frac{-GMm}{R}$ . Тогда, согласно этому, в бесконечности вы остановитесь.

Но если вы получите еще немного начальной энергии, увеличив свой начальный КЭ, то вы достигнете бесконечности, ваша конечная потенциальная энергия станет равной 0, но вы никогда не придете в состояние покоя.

Так что никакой математической нестыковки в вопросе нет. Я просто не мог понять, какие результаты я получаю.

Вы все еще в замешательстве. Скорость убегания означает минимальную скорость, чтобы добраться до бесконечности. Создание правильных условий для интерпретации того, как решить физическую задачу, является частью понимания физики или, возможно, логики или слов.
Не могли бы вы указать, где я ошибаюсь в ответе, который я дал?
Скорость убегания означает нулевую скорость на бесконечности. Вы отвечаете про математическую несостоятельность разницы нет. Просто примите, что правильный ответ, который вы, кажется, выбрали, является правильным. Никаких если и но.
Спасибо @BobBee! Но не могли бы вы сказать мне, что если я толкаю свой объект с начальной скоростью, превышающей скорость убегания, то его конечная скорость на бесконечности не будет равна нулю, как я указал?

Почему мы получаем два разных ответа для скорости убегания, когда применяем разные законы для ее расчета?

Аарьян Деван

dmckee --- котенок экс-модератор

Аарьян Деван

Ответы (3)

Физик137

Аарьян Деван

Физик137

Супрабха

Аарьян Деван

Боб Би

Аарьян Деван

Боб Би

Аарьян Деван

Боб Би

Что произойдет, если снаряд вылетит с космической скоростью, но не вверх?

Почему значение скорости убегания приближается к 0?

Скорость убегания под углом

Почему в формуле для получения скорости убегания vfvfv_f равно 000?

Сколько времени потребуется пуле, чтобы достичь геостационарной орбиты?

Как скорость убегания связана с энергией и скоростью?

Как долго должна поддерживаться скорость убегания?

Формула скорости убегания

Решите для начальной скорости снаряда с учетом угла, силы тяжести, а также начального и конечного положения?

Параболическое движение (эксперимент)