Проблема с подпрыгиванием мяча SMBC

Question

Проблема с подпрыгиванием мяча SMBC

redd.it

Это взято из комикса Saturday Morning Breakfast Cereal (SMBC) с шутливым ответом. В проблеме указано:

5-килограммовый мяч летит прямо со скоростью 20 метров в секунду с высоты 10 метров. Мяч теряет 1 джоуль каждый раз, когда касается Земли. Предположим, что сопротивление воздуха отсутствует. Когда мяч перестанет прыгать?

Как бы решить эту проблему? Лучшее, что я мог сделать, это предположить, что полная энергия мяча, определяемая суммой потенциальной и кинетической энергии при первоначальном броске, полностью теряется, когда он перестает отскакивать. Это дало бы нам примерно 1490 отскоков, причем каждый отскок замедлял бы движение мяча и заставлял его отскакивать немного ниже.

Это по-прежнему требует тонны вычислений (огромный ряд), даже с добавленным предположением об отсутствии трения между мячом и землей. Я что-то пропустил?

Ответы (5)

Проблема с подпрыгиванием мяча SMBC

Джереми · Answer 1

Если предположить, что импульс теряется в обоих направлениях, поскольку кинетическая энергия ненаправленна, возможно, лучше всего предположить, что она теряет энергию в каждом «направлении» пропорционально синусу и косинусу угла отскока. Используя это предположение, каждый отскок заставляет его терять 2/3 Дж от горизонтальной скорости и 1/3 от вертикальной потенциальной энергии. Согласно этому предположению, имеется 1491 отскок, каждый из которых линейно меньше предыдущего, и в итоге получается расстояние примерно 250 км.

Возможно, вы захотите подумать об этом «примерно 250 км расстояния». Если бы начальная скорость была 20 м/с, то за 1500 секунд он проехал бы самое большее 30 км.
@Флорис абсолютно прав. Кроме того, эта проблема вполне решаема

Кайл Оман · Answer 2

Комментарии к ответу @udiboy указывают на то, что эта проблема немного некорректна (что, я думаю, для комикса нормально). Кажется, выше был некоторый аргумент о том, можно ли пренебречь трением (отмечу, что вопрос НЕ говорит о том, чтобы пренебречь трением) и можно ли истощить гравитационную потенциальную энергию, не касаясь горизонтальной составляющей импульса.

На самом деле мяч, вероятно, немного теряет скорость и высоту с каждым отскоком, и этот процесс невозможно рассчитать без дополнительной информации о взаимодействии земли с мячом. Но мы все еще можем получить ограничение на время.

Я вижу здесь два предельных случая:

1) На горизонтальный импульс не влияют отскоки (может быть, мяч не имеет трения, но «липкий»?). Мяч отскакивает на немного меньшую высоту после каждого отскока и заканчивает скользить горизонтально по земле с той же горизонтальной скоростью, которую он имел изначально до конца времен. udiboy решил это в своем ответе, поэтому я беззастенчиво украду его результат и назову его минимальным временем до прекращения подпрыгивания:

Т_{м я н} "=" \sqrt{\frac{{час}_{я}}{г}} + \sum_{1}^{н} \sqrt{\frac{2}{г} \frac{Е_{я} - н}{м г}}

$T_\mathrm{min} = \sqrt{\frac{h_i}{g}} + \sum_1^n \sqrt{\frac{2}{g}\frac{E_i-n}{mg}}$

2) Мяч теряет горизонтальный импульс при каждом отскоке, но каждый раз отскакивает на одну и ту же высоту, пока не потеряет горизонтальный импульс. Затем он теряет высоту с каждым отскоком, пока не выйдет за пределы высоты, и закончит в состоянии покоя. Это не очень реалистично, но это верхняя граница времени:

Т_{м а Икс} "=" Т_{м я н} + \sqrt{\frac{{час}_{я}}{2 г}} м в_{я}^{2}

$T_\mathrm{max} = T_\mathrm{min} + \sqrt{\frac{h_i}{2g}}mv_i^2$

Принимая $g$ быть $10\textrm{ms}^{-2}$ дает (при условии, что я не ошибся в вычислении суммы):

Т_{м я н} "=" 472 с

$T_\mathrm{min} = 472\mathrm{s}$

Т_{м а Икс} "=" 1886 г. с

$T_\mathrm{max} = 1886\mathrm{s}$

Итак, я не говорил, что это будет хорошим ограничением. Но это лучше, чем я привык получать (ах, радости астрономии).

Почему угол падения не равен углу отражения? Это точечная частица. Смотрите мой ответ .

Найджел · Answer 3

Когда мяч перестанет прыгать?

Использование кинематики означает высоту ( $d_y$ ) стремится к нулю, а вертикальная скорость ( $v_y$ ) стремится к нулю, но горизонтальная скорость ( $v_x$ ) был бы постоянным, если бы трением и сопротивлением воздуха можно было пренебречь, поскольку он продолжал бы скользить после прекращения подпрыгивания. Таким образом, вы могли бы решить, когда $d_y$ = 0 или $v_y$ = 0.

Используя закон сохранения энергии, потенциальную энергию ( $PE_i$ ) равна кинетической энергии ( $KE_i$ ), минус 1,0 Дж, потерянные при каждом неупругом столкновении. Поскольку в горизонтальном направлении силы нет (трение и сопротивление воздуха пренебрежимо малы), то я предполагаю, что энергия, рассеиваемая при отскоке, основана только на энергии в вертикальном направлении, которая может быть работой силы тяжести (при условии отсутствия энергии). теряется из-за деформации материала). Используя вертикальную механическую энергию ( $E_y$ ) как начальная потенциальная энергия дает нам:

Е_{у} "=" п Е_{я} "=" м г час "=" (5) (9,81) (10) "=" 490,5 Дж

$E_y = PE_i = mgh \\ = (5)(9.81)(10) \\ = 490.5\ \ J$

Когда мяч перестает прыгать, вертикальная механическая энергия ( $E_y$ ) равна сумме энергии, потерянной при каждом отскоке ( $E_{bounce}$ ), пусть n будет количеством отказов:

Е_{у} "=" \sum Е_{б о ты н с е} 490,5 Дж "=" (1,0 Дж) н н "=" 490,5 б о ты н с е с

$E_y = \sum E_{bounce} \\ 490.5\ J = (1.0\ J)n \\ n = 490.5\ \rm{bounces}$

Таким образом, мяч перестает отскакивать после 490,5 отскоков, то есть после 490 отскоков. (у меня нет времени решать t ).

РЕДАКТИРОВАТЬ , 15 июля: гравитация, скорее всего, не будет диссипативной (точно так же, как гравитация обеспечивает возвращающую силу в маятнике). Следовательно, энергия должна быть связана с деформацией материала, которая не позволила бы разбить его на компоненты x и y , как показано выше.

Итак, полную механическую энергию следует рассчитать как сумму потенциальной и кинетической энергий и положить равной сумме энергии, рассеиваемой при отскоках.

Е_{Т} "=" м г час + \frac{1}{2} м в^{2} "=" \sum Е_{б о ты н с е} (5) (9,81) (10) + \frac{1}{2} (5) (20)^{2} "=" (1,0 Дж) н н "=" 1490,5 б о ты н с е с

$E_T = mgh + \frac{1}{2}mv^2 = \sum E_{bounce} \\ \\ (5)(9.81)(10) + \frac{1}{2}(5)(20)^2 = (1.0\ J)n \\ \\ n = 1490.5\ \rm{bounces}$

Если предположить отсутствие трения или сопротивления и округление в большую сторону, то мяч отскочит 1491 раз, прежде чем остановится.

После 490 отскоков мяч останется с $0.5J$ энергии, куда она пойдет?
@udiboy: да, в этом приближении вам следует округлить вверх, а не вниз - оно идет от 0,5 Дж до нуля с последним отскоком.
Когда является мерой времени. Этот ответ не отвечает на вопрос.

удибой1209 · Answer 4

Если мы предположим, что трение отсутствует , в горизонтальном направлении нет силы, поэтому мяч будет продолжать двигаться вправо неопределенно долго. Мы можем считать, что он перестал прыгать, когда у него нет вертикальной скорости. Поскольку силы действуют полностью в вертикальном направлении, нет потери энергии за счет кинетической энергии в горизонтальном направлении. Таким образом, 1 Джоуль рассеется из потенциальной энергии. PE дается

Δ п "=" м г час "=" 500 Дж

$\Delta P=mgh=500 J$ .

Таким образом, мы можем сказать, что он подпрыгнет пятьсот раз.
После первого отскока PE станет $\Delta P=499 J$ и высота, соответствующая этому PE, будет

Δ п "=" м г {час}_{1}

$\Delta P=mgh_1$

∴ {час}_{1} "=" \frac{Δ п}{м г} "=" \frac{499}{50} м

$\therefore h_1=\frac{\Delta P}{mg}=\frac {499}{50}m$ Это означает, что после первого отскока мяч поднимается на высоту

\frac{499}{50} m

$\frac{499}{50}m$ . Точно так же после

n^{t h}

$n^{th}$ подпрыгивать

{час}_{н} "=" \frac{500 - н}{50}

$h_n=\frac {500-n}{50}$

Время, за которое мяч поднимется на высоту $h$ и вернуться обратно под действием силы тяжести дается

т "=" \sqrt{\frac{2 час}{г}}

$t=\sqrt{\frac{2h}{g}}$ Таким образом, время, взятое из

n^{t h}

$n^{th}$ отскочить к

{n + 1}^{t h}

${n+1}^{th}$ отскок

т_{н} "=" \sqrt{\frac{2 {час}_{н}}{г}}

$t_n=\sqrt{\frac{2h_n}{g}}$

Таким образом, суммирование этого должно дать вам ответ.

Т_{т о т а л} "=" \sum_{1}^{н} т_{н}

$T_{total}=\sum_1^n t_n$

Обратите внимание, что мы начали суммирование после первого отскока. Мы также должны добавить начальное время, необходимое для падения, которое дается выражением

т_{0} "=" \sqrt{\frac{{час}_{я н я т я а л}}{г}}

$t_0=\sqrt{\frac{h_{initial}}{g}}$

Проблема с учетом трения: теперь есть сила в горизонтальном направлении, поэтому она будет совершать работу каждый раз, когда мяч отскакивает. Чтобы найти время, мы должны выяснить, какая именно часть $1 Joule$ рассеивается трением и неупругим столкновением. Это становится действительно сложным. Я не знаю, как это сделать.

Поскольку в исходной задаче энергия теряется при каждом отскоке, столкновение по определению неупругое. Если энергия теряется, то нельзя игнорировать горизонтальную составляющую, т.е. как энергия рассеивается только в вертикальном направлении? Это предположение не может быть правильным.
Я предполагаю отсутствие трения, потому что наличие трения заставит мяч начать катиться, сообщая ему угловой момент. Поскольку момент инерции мяча не был задан, это сделало бы невозможным решение задачи.
Я думаю, что этот вопрос не совсем точно определен, так как если бы вертикальная скорость была равна нулю после N прыжков, то горизонтальная скорость все равно была бы равна начальной скорости. А так как вы предположили, что трения в горизонтальном направлении нет, то мяч будет продолжать скользить в горизонтальном направлении. Однако в вопросе говорилось, что мяч будет терять энергию всякий раз, когда он касается Земли, а также при скольжении по ней. Я думаю, было бы безопаснее предположить, что горизонтальная и вертикальная скорость после отскока будут уменьшены на один и тот же коэффициент: $\sqrt{1-\frac{2E}{m(u^2+v^2)}}$ .
@redd.it, по горизонтали нет силы, которая могла бы совершать работу и рассеивать энергию (потому что я предполагаю, что трение равно нулю).
@fibonatic, я согласен с вами, вопрос должен точно указывать, какие силы задействованы, или, по крайней мере, сделать его вычитаемым из некоторых данных. Что касается предположения, что скорость уменьшается на тот же коэффициент, то изменение вертикальной скорости соответствует импульсу $Ndt$ тогда как изменение горизонтальной скорости соответствовало бы импульсу $\mu Ndt$ . Как мы можем предположить, что они изменяются на один и тот же фактор?
@udiboy Когда мяч падает на землю, энергия рассеивается, и не обязательно из-за трения. Нам все равно, это может быть звук или тепло, но нет никакого волшебного устройства, позволяющего мячу терять только «вертикальную энергию». Энергия является скалярной величиной.
@redd.it, так что вы могли бы сказать, что оба предположения неверны, и поэтому этот вопрос не имеет четкого определения. Однако если вы возьмете одно из двух предположений и попытаетесь найти ответ, я не знаю, как вы сможете вычислить его вручную. Так как я пытался вычислить его с помощью Matlab с циклом while, поскольку продолжался, пока коэффициент был бы реальным (терм, который вычитается из 1, меньше 1).
@redd.it, может быть, мне следует перефразировать: кинетическая энергия , соответствующая вертикальной составляющей скорости, изменяется на $1 joule$ а кинетическая энергия, соответствующая горизонтальной составляющей, остается неизменной просто потому, что вертикальная скорость меняется, а горизонтальная — нет. Полная энергия по-прежнему уменьшается на $1 Joule$ .
"кинетическая энергия, соответствующая горизонтальной составляющей, остается неизменной" Почему? Не говорите мне, что это потому, что нет силы в горизонтальном направлении, потому что нет силы и в вертикальном направлении. (Не считая гравитации, так как она не несет ответственности за потерю энергии)
@udiboy Тогда ответь на мой вопрос: как меняется вертикальная скорость? Или, точнее, что вызывает потерю вертикальной скорости?
Во время каждого отскока на мяч действует нормальная сила. Именно это меняет скорость мяча на противоположную, одновременно уменьшая величину. Вертикальная скорость меняется после каждого отскока, как по знаку, так и по величине.
@udiboy Это не меняет того факта, что энергия теряется не только в вертикальном направлении. Если бы удар был абсолютно упругим, то я бы согласился с вами: горизонтальная скорость осталась бы неизменной, и мяч отскочил бы обратно на ту же высоту и продолжал бы отскакивать бесконечно. Но очевидно, что столкновение неупругое, и вы не можете предположить, что потеря энергии происходит только в одном направлении. Это не имеет никакого смысла.
Вы должны задать это как еще один вопрос. Может быть, кто-то другой может объяснить это лучше.
Может быть, стоит придерживаться ответа, данного в комиксе, так как не совсем понятно, какое уменьшение энергии следует использовать для этого вопроса.
Каждый раз, когда я слышу фразу «энергия в ___ направлении», я съеживаюсь. Энергия - это скаляр! Не путайте энергию и импульс! Одного (не)сохранения энергии недостаточно для решения этой проблемы. Вы также должны знать, что происходит с импульсом. Это требует понимания динамики самого удара (как пол рассеивает импульс?), который не указан в вопросе. Следовательно, вопрос некорректен. Период. Сделанный.

пользователь121330 · Answer 5

Поскольку мы не знаем объема шара, мы можем аппроксимировать его как точечную частицу. Кое-что упоминалось о трении между землей и мячом — все, что я скажу, это то, что мы должны игнорировать его, потому что а) момент инерции (или какой-либо способ его найти) не указан, и б) если мяч начал вращаться, трение стало бы статическим, а не кинетическим. Все еще выполнимая проблема, но вам понадобится момент инерции.

\begin{array}{rcl} U_{0} & "=" & \frac{м {\dot{Икс}}_{0}^{2}}{2} + м г час "=" 1490 Дж \\ U_{н} & "=" & \frac{м {\dot{Икс}}_{0}^{2}}{2} + м г час - н \end{array}

$\begin{eqnarray} U_0 &=& \frac{m \dot x_0^2}{2} + m g h = 1490\text J\\ U_n &=& \frac{m \dot x_0^2}{2} + m g h - n \end{eqnarray}$

Где $m$ масса мяча, $v_0$ - начальная (горизонтальная) скорость, $g$ - местная сила тяжести на поверхности (предполагается, что $9.8 \frac{\text m}{ \text s}$ ), $h$ - начальная высота, а $n$ это количество отскоков и измеряется в джоулях. Очевидно, мы должны придумать сумму по энергии от 1489 до 1 и добавить длительность первой полупараболы.

Несмотря на то, что столкновение не является абсолютно упругим, я не могу придумать предпочтения для более мелкого или более крутого угла после отскока. Кстати, этот угол $35^\circ$ , а после размышления соотношение $\frac{\dot y_n}{\dot x_n} = \frac{\sqrt{2 g h}}{\dot x_0} = \eta \approx \frac{7}{10}$ тогда будет постоянным.

Продолжительность $n$ отскок $t = \frac{2 \dot y_n}{g}$ (из кинематики), поэтому все, что нам нужно сделать, это положить $y_n$ с точки зрения $U_n$ . Когда мяч падает на землю, он имеет только кинетическую энергию.

\begin{array}{rcl} U_{н} & "=" & \frac{м ({\dot{Икс}}_{н}^{2} + {\dot{у}}_{н}^{2})}{2} \\ U_{н} & "=" & \frac{м (\frac{{\dot{у}}_{н}^{2}}{η^{2}} + {\dot{у}}_{н}^{2})}{2} \\ U_{н} & "=" & \frac{м {\dot{у}}_{н}^{2}}{2} (1 + \frac{1}{η^{2}}) \\ {\dot{у}}_{н} & "=" & \sqrt{\frac{2 U_{н}}{м (1 + \frac{1}{η^{2}})}} \end{array}

$\begin{eqnarray} U_n &=& \frac{m(\dot x_n^2 + \dot y_n^2)}{2} \\ U_n &=& \frac{m(\frac{\dot y_n^2}{\eta^2} + \dot y_n^2)}{2} \\ U_n &=& \frac{m\dot y_n^2}{2}\left( 1 + \frac{1}{\eta^2}\right) \\ \dot y_n &=& \sqrt{\frac{2 U_n}{m \left(1 + \frac{1}{\eta^2} \right)}} \end{eqnarray}$

Делая немного алгебры и записывая сумму,

т_{т о т а л} "=" \sqrt{\frac{2 час}{г}} + \frac{2 η}{г} \sqrt{\frac{2}{м (1 + η^{2})}} \sum_{н "=" 1489}^{1} \sqrt{U_{н}} \approx 1471 с

$t_{total} = \sqrt{\frac{2 h}{g}} + \frac{2 \eta}{g} \sqrt{\frac{2}{m\left(1 + \eta^2\right)}} \sum_{n=1489}^1 \sqrt{U_n} \approx 1471 \text s$

Если вы писали тест, сумма квадратных корней представляет собой серьезную проблему, но вы можете избежать этого (используя апокрифический прием Гаусса ), если спросите пройденное расстояние. Я оставлю это как (довольно забавное) упражнение для читателя.

Обычно отскок приводит к потере энергии из-за рассеяния в мяче. Это рассеяние не является постоянным числом (в джоулях), что делает проблему по существу нефизической. То, как вы распределяете потери между горизонтальной и вертикальной скоростью, совершенно произвольно, потому что это не дается вопросом, и нет четкой физики, чтобы сказать «это должно быть так». Но если бы мне пришлось выбирать, я бы, наверное, сказал, что потери в вертикальном направлении, и в этом случае количество отскоков равно вертикальной кинетической энергии, деленной на 1 Дж и округленной в большую сторону.
@Floris Вы правы в том, что это нефизическая проблема, а это значит, что мы не можем проверить, куда уходит энергия. Если бы мы играли в бильярд, мы бы оба согласились, что энергию берет на себя бампер, а не биток.
Именно потому, что существует только нормальная сила, вы не можете изменить горизонтальную скорость, а угол изменится! Вам нужна горизонтальная сила, чтобы изменить горизонтальный импульс.

Проблема с подпрыгиванием мяча SMBC

redd.it

Ответы (5)

Джереми

Флорис

пользователь121330

Кайл Оман

пользователь121330

Найджел

удибой1209

Джерри Ширмер

пользователь121330

удибой1209

redd.it

redd.it

фибонатический

удибой1209

удибой1209

redd.it

фибонатический

удибой1209

redd.it

redd.it

удибой1209

redd.it

удибой1209

фибонатический

Майкл

пользователь121330

пользователь121330

Флорис

пользователь121330

Флорис