Скорость спутника на эллиптической орбите

Question

Скорость спутника на эллиптической орбите

Ахмед С. Аттаалла

Рассмотрим какой-нибудь спутник массой $m$ вокруг Земли, путешествуя по эллиптической орбите вокруг фокуса (Земли). Предположим, в какой-то момент $A$ спутник находится на расстоянии $a$ единицах от фокуса на минимальном расстоянии, а в другой точке $B$ это на расстоянии $b$ от фокуса, максимальное расстояние. Пусть точки $A$ и $B$ находиться на одной прямой с центром Земли. Когда спутник находится на расстоянии $a$ , его скорость равна $v_0$ .

Вычислите скорость спутника на расстоянии $b$ из фокуса.

Итак, сначала я подошел к этому путем преобразования механической энергии:

\frac{1}{2} м в_{0}^{2} - \frac{г м_{е} м}{а} "=" \frac{1}{2} м в_{б}^{2} - \frac{г м_{е} м}{б}

$\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{Gm_e m}{a}=\frac{1}{2}m v_b^2-\frac{G m_e m}{b}$

Я получил,

в_{б} "=" \sqrt{в_{0}^{2} + 2 г м_{е} (\frac{1}{б} - \frac{1}{а})}

$v_b=\sqrt{v_0^2+2Gm_e(\frac{1}{b}-\frac{1}{a})}$

Но потом я понял, что сохранение момента импульса дает,

м в_{б} б "=" м в_{0} а

$mv_bb=mv_0 a$

в_{б} "=" \frac{а}{б} в_{0}

$v_b=\frac{a}{b}v_0$

Я не понимаю, как они могут быть эквивалентны. Один ответ неверный? Может кто-нибудь объяснить.

Ответы (2)

Скорость спутника на эллиптической орбите

Нг Чунг Так · Answer 1

Большая полуось равна $\dfrac{a+b}{2}$ где $a<b$ .

По уравнению vis-viva ,

в^{2} "=" 2 г М (\frac{1}{р} - \frac{1}{а + б})

$v^2=2GM\left( \frac{1}{r}-\frac{1}{a+b} \right)$

В перигее ( $r=a$ ),

в_{а} "=" \sqrt{\frac{2 г М б}{а (а + б)}}

$v_a=\sqrt{\frac{2GMb}{a(a+b)}}$

В апогее ( $r=b$ ),

в_{б} "=" \sqrt{\frac{2 г М а}{б (а + б)}}

$v_b=\sqrt{\frac{2GMa}{b(a+b)}}$

И полная энергия, и угловой момент сохраняются.

См. ссылку здесь для получения дополнительной информации.

Фотон · Answer 2

Фотон

Второй ответ неверен, потому что в нем отсутствуют углы векторных продуктов: https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum#Vector_.E2.80.94_angular_momentum_in_three_dimensions

Ахмед С. Аттаалла

Извините, я не думаю, что достаточно хорошо изложил проблему, в задаче очевидно, что угол между вектором скорости и вектором положения равен

\9 0

$\90$ градусов.

Фотон

Нет, на эллиптической орбите это не так, см. разницу между T и F на следующем изображении: star-www.st-and.ac.uk/~fv/webnotes/ELLIPVEL.GIF

Фотон

Хорошо, глядя на вашу фотографию, я думаю, что понимаю ваше последнее утверждение. Для частного случая двух точек A и B на картинке второй ответ также является правильным. В этом случае обе формулы должны давать одни и те же числа, хотя выглядят очень по-разному. Это связано с тем, что величины, входящие в уравнения, не являются независимыми. Если вы исправите

v_{0}

$v_0$ ,

a

$a$ и

G m_{e}

$Gm_e$ , вы должны быть в состоянии предсказать

v_{b}

$v_b$ и

b

$b$ . Как только вы выразите оба результата в терминах наименьшего числа независимых величин, формулы должны стать одинаковыми.

Фарчер

@photon В положениях A и B скорость спутника перпендикулярна прямой линии, соединяющей центр Земли со спутником. Поскольку сила является центральной, угловой момент сохраняется.

Фотон

@Farcher: это то, что я написал в своем последнем комментарии. ;)

Фарчер

Я имел в виду ваш ответ, который подразумевал, что использование закона сохранения углового момента неверно? Возможно, вам стоит изменить его?

Фотон

Ответ был написан, когда ОП еще не уточнил, что он имеет в виду точки A и B на картинке. Я оставил это как есть для «исторической» ясности.

Скорость спутника на эллиптической орбите

Ахмед С. Аттаалла

Ответы (2)

Нг Чунг Так

Фотон

Ахмед С. Аттаалла

Фотон

Фотон

Фарчер

Фотон

Фарчер

Фотон

Орбитальные уравнения движения относительно энергии

Поместите пулю на орбиту вокруг Луны

Движение, описываемое a=kx2a=kx2a=\frac{k}{x^2}

Откуда берется дополнительная кинетическая энергия в гравитационной рогатке?

Как вывести соотношение обратных квадратов в законе тяготения Ньютона из законов Кеплера?

Закон Кеплера и моя проблема

Орбитальная механика: упадет ли спутник?

Проблема с подпрыгиванием мяча SMBC

Отсутствие стабильных замкнутых орбит для ньютоновского гравитационного поля в пространственных измерениях d≠3d≠3d\neq 3

Устранение путаницы в орбитальной механике