Фотоны в кулоновском поле

Нет, это не так (по общему признанию, возможно). Кулоновские поля зарядов задают ту часть электрического поля, которая является безвихревой (не имеет завихрения ). Фотоны являются возбуждениями в той части электромагнитного поля (электрическое поле и векторный потенциал), которая не имеет дивергенции .

Рассмотрим квантовый гармонический осциллятор (простой гармонический осциллятор = SHO). Он имеет дискретные энергетические уровни, потому что гамильтониан

$$\begin{align} H = \frac{p^2}{2m} + \frac{1}{2} k x^2, \end{align}$$ имеет как импульс, $p$, и положение, $x$, в этом. Когда гамильтониан имеет только одно или другое ( $m=\infty$или $k=0$), его спектр непрерывен.

«Частицы» в квантовой теории поля (КТП) в конечном счете являются результатом именно такой дискретизации возможных значений гамильтониана. Один из способов записать гамильтониан для электромагнитного поля:

$$H = \int \left[\frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_{\mathrm{div}}^2 + \frac{\epsilon_0}{2}\mathbf{E}_{\mathrm{sol}}^2 + \frac{1}{2\mu_0} \left(\nabla\times \mathbf{A}_{\mathrm{sol}}\right)^2\right] \operatorname{d}^3x.$$ В этом гамильтониане $\mathbf{A}_{\mathrm{sol}}$играет роль координаты (как $x$в ШО) и $\mathbf{E} = \mathbf{E}_{\mathrm{div}} + \mathbf{E}_{\mathrm{sol}}$играет роль импульса ( $p$в ШО). Обратите внимание, как $\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$не способствует? Это означает, что $\mathbf{E}_{\mathrm{div}}$часть поля не поддерживает корпускулярные возбуждения, потому что эта часть энергии может иметь любой энергетический уровень. Фотоны живут в тех частях гамильтониана, которые имеют $\mathrm{sol}$, для соленоида, нижний индекс.

Я ничего не говорил о скалярном потенциале,$\phi$. В отличие от$\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$в котором отсутствует потенциальный член, но есть член кинетической энергии,$\phi$появляется в гамильтониане / лагранжиане, но его производная по времени нет, так что это другая форма странности, например, когда что-то имеет часть потенциальной энергии, но не часть кинетической энергии. Хуже того, это на самом деле связано с$\mathbf{A}_{\mathrm{div}}$, но понимание всего этого не обязательно, чтобы понять, почему в той части поля, которая зависит от них, нет фотонов.

Теперь, что я имел в виду под "возможно"? Что ж, вы часто будете слышать о «виртуальных фотонах», и Фейнман прямо говорит, что кулоновский потенциал возникает из-за действия таких виртуальных фотонов. Фейнман не был болваном, так что он не совсем не прав, он просто злоупотребляет терминологией, которая, по общему признанию, стала общепринятой.

Мое понимание того, что такое виртуальный фотон или любая виртуальная частица, тесно связано с преобразованием Фурье поля и выполнением ограничений (особенно граничных условий). В частности, это математический инструмент, который позволяет вам удовлетворять ограничениям в реальном пространстве после перехода в пространство Фурье. Если вы углубитесь в квантовую электродинамику, например, вы обнаружите, что уравнение Максвелла эквивалентно закону Кулона,$\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\epsilon_0}$, рассматривается как уравнение связи, которому должны подчиняться поля, а не как результат динамики. Таким образом, вам нужны виртуальные фотоны, чтобы удовлетворить его.

Рассмотрим пример: струна, оба конца которой зафиксированы на расстоянии$L$врозь и с фиксированным натяжением,$T$. Теперь потяните за веревку в какой-то момент,$x'$, с силой,$F$. В этой аналогии положение струны играет роль поля, а приложенная сила — роль электрона ($F$является зарядом). Предположим, что струна подчиняется неоднородному волновому уравнению (для простоты)

$$\mu \frac{\partial^2 y}{\partial t^2} - T \frac{\partial^2 y}{\partial x^2} = F \delta(x-x'), \tag1$$ где $\mu$- масса на единицу длины струны и $\delta(x-x')$– дельта-функция Дирака. В этом случае можно показать, что форма струны $y(x)$, является палаточной функцией, заданной $$\begin{equation} y(x) = \left\{\begin{array}{ll} \frac{F}{T} \left(1 - \frac{x'}{L}\right) x & x \le x' \\ \frac{F}{T} \left(\frac{x'}{L}\right) (L-x) & x \ge x'. \end{array}\right. \tag2 \end{equation}$$

Когда$F=0$струна подчиняется волновому уравнению и имеет нормальные моды, к которым мы привыкли. Эти нормальные моды возникают на дискретных частотах, и в квантовой механике они будут иметь дискретные амплитуды (так выглядят фотоны, когда вы прикрепляете поле к краям некоторого ящика — у них дискретные частоты), фиксированные$E_i=n_i \hbar \omega_i$, для некоторого целого числа$n_i$на каждой угловой частоте$\omega_i$. Что$n_i$это то, что мы называем количеством фотонов, которые имеют эту частоту в случае электромагнетизма. Важно отметить, что эти нормальные моды подчиняются дисперсионному соотношению между угловой частотой и волновым числом,$k$,

$$\omega^2 - \frac{T}{\mu}k^2 = 0. \tag3$$ Когда мода подчиняется этому соотношению, мы называем это «на массовой оболочке» в физике частиц.

Если вы делаете расширение режима уравнения$(2)$Вы получаете

$$\begin{align} y(t,x) &= \frac{F}{T}\sum_{i=1}^\infty \frac{\sin(k_i x') \sin(k_i x)}{k_i^2} \ \mathrm{for} \tag4\\ k_i & \equiv i\frac{\pi}{L}. \end{align}$$ Обратите внимание, что каждый член в уравнении (4) представляет собой отдельную моду, и связь между угловой частотой ( $0$для каждой моды в этом случае) и волновое число, заданное в уравнении (3), нарушается. Таким образом, мы называем термы «не вещественными», но они нам все же нужны для удовлетворения граничных условий на производную от $y$в $x'$следует из уравнения (1).

Правда, струна не так сложна, как фотонный случай, поскольку поле не делится на отдельные составляющие, одна из которых допускает виртуальные фотоны, а другая — реальные, и не имеет калибровочных условий. Тем не менее, суть одна и та же (ср. скалярную теорию поля, использующую ту же терминологию, что и КЭД).

Интересно, что виртуальных частиц не всегда достаточно, чтобы удовлетворить все ограничения, наложенные на задачу. Когда вы выбираете калибровку в неабелевой калибровочной теории, вам нужен другой математический инструмент, называемый частицей-призраком Фаддеева-Попова, чтобы поддерживать калибровочное ограничение. Разница между призраком и виртуальными частицами заключается в том, что призраки FP имеют спиновую статистику, противоположную их основному полю, виртуальные частицы имеют то же самое.